Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30917 / 38852
↖ ↑ ↗
← S 31.672084°
W 10.167847°		 ← 519.82 m → S 31.672084°
W 10.162354°		 →
↑
519.81 m
↓
↑
519.81 m
↓
S 31.676758°
W 10.167847°		 ← 519.80 m →
270 201 m²		 S 31.676758°
W 10.162354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471763610839844 y=0.592842102050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471763610839844 × 216)
    floor (0.471763610839844 × 65536)
    floor (30917.5)     		tx = 30917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592842102050781 × 216)
    floor (0.592842102050781 × 65536)
    floor (38852.5)     		ty = 38852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30917 / 38852 ti = "16/30917/38852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30917/38852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30917 ÷ 216
    30917 ÷ 65536     		x = 0.471755981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38852 ÷ 216
    38852 ÷ 65536     		y = 0.59283447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471755981445312 × 2 - 1) × π
    -0.056488037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17746240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1856689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.583296194576843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17746240} λ = -0.17746240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.583296194576843))-π/2
    2×atan(0.558055870886289)-π/2
    2×0.509007094509357-π/2
    1.01801418901871-1.57079632675     		φ = -0.55278214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17746240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.167847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55278214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.672084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30917 KachelY 38852 -0.17746240 -0.55278214 -10.167847 -31.672084
    Oben rechts KachelX + 1 30918 KachelY 38852 -0.17736653 -0.55278214 -10.162354 -31.672084
    Unten links KachelX 30917 KachelY + 1 38853 -0.17746240 -0.55286373 -10.167847 -31.676758
    Unten rechts KachelX + 1 30918 KachelY + 1 38853 -0.17736653 -0.55286373 -10.162354 -31.676758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55278214--0.55286373) × R
    8.15899999999647e-05 × 6371000     		dl = 519.809889999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55278214--0.55286373) × R
    8.15899999999647e-05 × 6371000     		dr = 519.809889999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17746240--0.17736653) × cos(-0.55278214) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.851067035491464 × 6371000     		do = 519.821336728331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17746240--0.17736653) × cos(-0.55286373) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.851024193254418 × 6371000     		du = 519.795169213904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55278214)-sin(-0.55286373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851067035491464-0.851024193254418)×R²
    abs(-0.17736653--0.17746240)×4.28422370463144e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.28422370463144e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.28422370463144e-05×40589641000000     		ar = 270201.470947983m²