Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30917 / 38100
↖ ↑ ↗
← S 28.091366°
W 10.167847°		 ← 538.84 m → S 28.091366°
W 10.162354°		 →
↑
538.86 m
↓
↑
538.86 m
↓
S 28.096212°
W 10.167847°		 ← 538.81 m →
290 350 m²		 S 28.096212°
W 10.162354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471763610839844 y=0.581367492675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471763610839844 × 216)
    floor (0.471763610839844 × 65536)
    floor (30917.5)     		tx = 30917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581367492675781 × 216)
    floor (0.581367492675781 × 65536)
    floor (38100.5)     		ty = 38100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30917 / 38100 ti = "16/30917/38100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30917/38100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30917 ÷ 216
    30917 ÷ 65536     		x = 0.471755981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38100 ÷ 216
    38100 ÷ 65536     		y = 0.58135986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471755981445312 × 2 - 1) × π
    -0.056488037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17746240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58135986328125 × 2 - 1) × π
    -0.1627197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.511199097548279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17746240} λ = -0.17746240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.511199097548279))-π/2
    2×atan(0.599775957570218)-π/2
    2×0.54025474690676-π/2
    1.08050949381352-1.57079632675     		φ = -0.49028683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17746240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.167847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49028683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.091366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30917 KachelY 38100 -0.17746240 -0.49028683 -10.167847 -28.091366
    Oben rechts KachelX + 1 30918 KachelY 38100 -0.17736653 -0.49028683 -10.162354 -28.091366
    Unten links KachelX 30917 KachelY + 1 38101 -0.17746240 -0.49037141 -10.167847 -28.096212
    Unten rechts KachelX + 1 30918 KachelY + 1 38101 -0.17736653 -0.49037141 -10.162354 -28.096212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49028683--0.49037141) × R
    8.45800000000008e-05 × 6371000     		dl = 538.859180000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49028683--0.49037141) × R
    8.45800000000008e-05 × 6371000     		dr = 538.859180000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17746240--0.17736653) × cos(-0.49028683) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.882197832693067 × 6371000     		do = 538.83564692942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17746240--0.17736653) × cos(-0.49037141) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.882158002596141 × 6371000     		du = 538.811319193339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49028683)-sin(-0.49037141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882197832693067-0.882158002596141)×R²
    abs(-0.17736653--0.17746240)×3.98300969262078e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98300969262078e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98300969262078e-05×40589641000000     		ar = 290349.980420314m²