Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30916 / 38812
↖ ↑ ↗
← S 31.484893°
W 10.173340°		 ← 520.92 m → S 31.484893°
W 10.167847°		 →
↑
520.89 m
↓
↑
520.89 m
↓
S 31.489578°
W 10.173340°		 ← 520.89 m →
271 337 m²		 S 31.489578°
W 10.167847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471748352050781 y=0.592231750488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471748352050781 × 216)
    floor (0.471748352050781 × 65536)
    floor (30916.5)     		tx = 30916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592231750488281 × 216)
    floor (0.592231750488281 × 65536)
    floor (38812.5)     		ty = 38812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30916 / 38812 ti = "16/30916/38812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30916/38812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30916 ÷ 216
    30916 ÷ 65536     		x = 0.47174072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38812 ÷ 216
    38812 ÷ 65536     		y = 0.59222412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47174072265625 × 2 - 1) × π
    -0.0565185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17755828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59222412109375 × 2 - 1) × π
    -0.1844482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.579461242607239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17755828} λ = -0.17755828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.579461242607239))-π/2
    2×atan(0.560200097222097)-π/2
    2×0.510640636284199-π/2
    1.0212812725684-1.57079632675     		φ = -0.54951505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17755828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.173340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54951505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.484893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30916 KachelY 38812 -0.17755828 -0.54951505 -10.173340 -31.484893
    Oben rechts KachelX + 1 30917 KachelY 38812 -0.17746240 -0.54951505 -10.167847 -31.484893
    Unten links KachelX 30916 KachelY + 1 38813 -0.17755828 -0.54959681 -10.173340 -31.489578
    Unten rechts KachelX + 1 30917 KachelY + 1 38813 -0.17746240 -0.54959681 -10.167847 -31.489578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54951505--0.54959681) × R
    8.17600000000418e-05 × 6371000     		dl = 520.892960000266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54951505--0.54959681) × R
    8.17600000000418e-05 × 6371000     		dr = 520.892960000266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17755828--0.17746240) × cos(-0.54951505) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.852777898974375 × 6371000     		do = 520.920641699898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17755828--0.17746240) × cos(-0.54959681) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.852735195023509 × 6371000     		du = 520.89455592831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54951505)-sin(-0.54959681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852777898974375-0.852735195023509)×R²
    abs(-0.17746240--0.17755828)×4.27039508659188e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.27039508659188e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.27039508659188e-05×40589641000000     		ar = 271337.101184318m²