Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30916 / 38076
↖ ↑ ↗
← S 27.974998°
W 10.173340°		 ← 539.47 m → S 27.974998°
W 10.167847°		 →
↑
539.43 m
↓
↑
539.43 m
↓
S 27.979849°
W 10.173340°		 ← 539.45 m →
291 004 m²		 S 27.979849°
W 10.167847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471748352050781 y=0.581001281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471748352050781 × 216)
    floor (0.471748352050781 × 65536)
    floor (30916.5)     		tx = 30916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581001281738281 × 216)
    floor (0.581001281738281 × 65536)
    floor (38076.5)     		ty = 38076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30916 / 38076 ti = "16/30916/38076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30916/38076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30916 ÷ 216
    30916 ÷ 65536     		x = 0.47174072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38076 ÷ 216
    38076 ÷ 65536     		y = 0.58099365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47174072265625 × 2 - 1) × π
    -0.0565185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17755828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58099365234375 × 2 - 1) × π
    -0.1619873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.508898126366516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17755828} λ = -0.17755828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.508898126366516))-π/2
    2×atan(0.60115761373001)-π/2
    2×0.541270252142273-π/2
    1.08254050428455-1.57079632675     		φ = -0.48825582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17755828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.173340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48825582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.974998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30916 KachelY 38076 -0.17755828 -0.48825582 -10.173340 -27.974998
    Oben rechts KachelX + 1 30917 KachelY 38076 -0.17746240 -0.48825582 -10.167847 -27.974998
    Unten links KachelX 30916 KachelY + 1 38077 -0.17755828 -0.48834049 -10.173340 -27.979849
    Unten rechts KachelX + 1 30917 KachelY + 1 38077 -0.17746240 -0.48834049 -10.167847 -27.979849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48825582--0.48834049) × R
    8.46700000000089e-05 × 6371000     		dl = 539.432570000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48825582--0.48834049) × R
    8.46700000000089e-05 × 6371000     		dr = 539.432570000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17755828--0.17746240) × cos(-0.48825582) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.883152372355323 × 6371000     		do = 539.474933718875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17755828--0.17746240) × cos(-0.48834049) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.883112651658971 × 6371000     		du = 539.450670272722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48825582)-sin(-0.48834049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883152372355323-0.883112651658971)×R²
    abs(-0.17746240--0.17755828)×3.97206963517194e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.97206963517194e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.97206963517194e-05×40589641000000     		ar = 291003.80587382m²