Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30915 / 6602
↖ ↑ ↗
← N 72.574250°
E159.642334°		 ← 365.84 m → N 72.574250°
E159.653320°		 →
↑
365.89 m
↓
↑
365.89 m
↓
N 72.570959°
E159.642334°		 ← 365.91 m →
133 870 m²		 N 72.570959°
E159.653320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943466186523438 y=0.201492309570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943466186523438 × 215)
    floor (0.943466186523438 × 32768)
    floor (30915.5)     		tx = 30915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201492309570312 × 215)
    floor (0.201492309570312 × 32768)
    floor (6602.5)     		ty = 6602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30915 / 6602 ti = "15/30915/6602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30915/6602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30915 ÷ 215
    30915 ÷ 32768     		x = 0.943450927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6602 ÷ 215
    6602 ÷ 32768     		y = 0.20147705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943450927734375 × 2 - 1) × π
    0.88690185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78628435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20147705078125 × 2 - 1) × π
    0.5970458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.87567500833356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78628435} λ = 2.78628435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87567500833356))-π/2
    2×atan(6.52522221347305)-π/2
    2×1.4187279686614-π/2
    2.8374559373228-1.57079632675     		φ = 1.26665961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78628435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.642334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26665961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.574250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30915 KachelY 6602 2.78628435 1.26665961 159.642334 72.574250
    Oben rechts KachelX + 1 30916 KachelY 6602 2.78647610 1.26665961 159.653320 72.574250
    Unten links KachelX 30915 KachelY + 1 6603 2.78628435 1.26660218 159.642334 72.570959
    Unten rechts KachelX + 1 30916 KachelY + 1 6603 2.78647610 1.26660218 159.653320 72.570959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26665961-1.26660218) × R
    5.7430000000025e-05 × 6371000     		dl = 365.886530000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26665961-1.26660218) × R
    5.7430000000025e-05 × 6371000     		dr = 365.886530000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78628435-2.78647610) × cos(1.26665961) × R
    0.000191749999999935 × 0.299469623359227 × 6371000     		do = 365.843846078225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78628435-2.78647610) × cos(1.26660218) × R
    0.000191749999999935 × 0.299524417163454 × 6371000     		du = 365.910784340126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26665961)-sin(1.26660218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299469623359227-0.299524417163454)×R²
    abs(2.78647610-2.78628435)×5.47938042270157e-05×R²
    0.000191749999999935×5.47938042270157e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.47938042270157e-05×40589641000000     		ar = 133869.581304041m²