Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30915 / 6597
↖ ↑ ↗
← N 72.590692°
E159.642334°		 ← 365.51 m → N 72.590692°
E159.653320°		 →
↑
365.50 m
↓
↑
365.50 m
↓
N 72.587405°
E159.642334°		 ← 365.58 m →
133 607 m²		 N 72.587405°
E159.653320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943466186523438 y=0.201339721679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943466186523438 × 215)
    floor (0.943466186523438 × 32768)
    floor (30915.5)     		tx = 30915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201339721679688 × 215)
    floor (0.201339721679688 × 32768)
    floor (6597.5)     		ty = 6597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30915 / 6597 ti = "15/30915/6597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30915/6597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30915 ÷ 215
    30915 ÷ 32768     		x = 0.943450927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6597 ÷ 215
    6597 ÷ 32768     		y = 0.201324462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943450927734375 × 2 - 1) × π
    0.88690185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78628435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201324462890625 × 2 - 1) × π
    0.59735107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.87663374632596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78628435} λ = 2.78628435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87663374632596))-π/2
    2×atan(6.5314811917987)-π/2
    2×1.41887145947371-π/2
    2.83774291894742-1.57079632675     		φ = 1.26694659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78628435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.642334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26694659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.590692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30915 KachelY 6597 2.78628435 1.26694659 159.642334 72.590692
    Oben rechts KachelX + 1 30916 KachelY 6597 2.78647610 1.26694659 159.653320 72.590692
    Unten links KachelX 30915 KachelY + 1 6598 2.78628435 1.26688922 159.642334 72.587405
    Unten rechts KachelX + 1 30916 KachelY + 1 6598 2.78647610 1.26688922 159.653320 72.587405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26694659-1.26688922) × R
    5.73700000001676e-05 × 6371000     		dl = 365.504270001068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26694659-1.26688922) × R
    5.73700000001676e-05 × 6371000     		dr = 365.504270001068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78628435-2.78647610) × cos(1.26694659) × R
    0.000191749999999935 × 0.299195801738624 × 6371000     		do = 365.509334838998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78628435-2.78647610) × cos(1.26688922) × R
    0.000191749999999935 × 0.29925054322621 × 6371000     		du = 365.576209188836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26694659)-sin(1.26688922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299195801738624-0.29925054322621)×R²
    abs(2.78647610-2.78628435)×5.47414875857188e-05×R²
    0.000191749999999935×5.47414875857188e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.47414875857188e-05×40589641000000     		ar = 133607.444075943m²