Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30915 / 38853
↖ ↑ ↗
← S 31.676758°
W 10.178833°		 ← 519.80 m → S 31.676758°
W 10.173340°		 →
↑
519.81 m
↓
↑
519.81 m
↓
S 31.681433°
W 10.178833°		 ← 519.77 m →
270 188 m²		 S 31.681433°
W 10.173340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471733093261719 y=0.592857360839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471733093261719 × 216)
    floor (0.471733093261719 × 65536)
    floor (30915.5)     		tx = 30915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592857360839844 × 216)
    floor (0.592857360839844 × 65536)
    floor (38853.5)     		ty = 38853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30915 / 38853 ti = "16/30915/38853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30915/38853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30915 ÷ 216
    30915 ÷ 65536     		x = 0.471725463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38853 ÷ 216
    38853 ÷ 65536     		y = 0.592849731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471725463867188 × 2 - 1) × π
    -0.056549072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17765415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592849731445312 × 2 - 1) × π
    -0.185699462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.583392068376083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17765415} λ = -0.17765415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.583392068376083))-π/2
    2×atan(0.558002370514442)-π/2
    2×0.508966298021136-π/2
    1.01793259604227-1.57079632675     		φ = -0.55286373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17765415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.178833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55286373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.676758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30915 KachelY 38853 -0.17765415 -0.55286373 -10.178833 -31.676758
    Oben rechts KachelX + 1 30916 KachelY 38853 -0.17755828 -0.55286373 -10.173340 -31.676758
    Unten links KachelX 30915 KachelY + 1 38854 -0.17765415 -0.55294532 -10.178833 -31.681433
    Unten rechts KachelX + 1 30916 KachelY + 1 38854 -0.17755828 -0.55294532 -10.173340 -31.681433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55286373--0.55294532) × R
    8.15899999999647e-05 × 6371000     		dl = 519.809889999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55286373--0.55294532) × R
    8.15899999999647e-05 × 6371000     		dr = 519.809889999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17765415--0.17755828) × cos(-0.55286373) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.851024193254418 × 6371000     		do = 519.795169213904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17765415--0.17755828) × cos(-0.55294532) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.850981345352165 × 6371000     		du = 519.768998239237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55286373)-sin(-0.55294532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851024193254418-0.850981345352165)×R²
    abs(-0.17755828--0.17765415)×4.28479022531736e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.28479022531736e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.28479022531736e-05×40589641000000     		ar = 270187.867915741m²