Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30915 / 38687
↖ ↑ ↗
← S 30.897511°
W 10.178833°		 ← 524.11 m → S 30.897511°
W 10.173340°		 →
↑
524.14 m
↓
↑
524.14 m
↓
S 30.902225°
W 10.178833°		 ← 524.08 m →
274 701 m²		 S 30.902225°
W 10.173340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471733093261719 y=0.590324401855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471733093261719 × 216)
    floor (0.471733093261719 × 65536)
    floor (30915.5)     		tx = 30915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590324401855469 × 216)
    floor (0.590324401855469 × 65536)
    floor (38687.5)     		ty = 38687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30915 / 38687 ti = "16/30915/38687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30915/38687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30915 ÷ 216
    30915 ÷ 65536     		x = 0.471725463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38687 ÷ 216
    38687 ÷ 65536     		y = 0.590316772460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471725463867188 × 2 - 1) × π
    -0.056549072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17765415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590316772460938 × 2 - 1) × π
    -0.180633544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.567477017702225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17765415} λ = -0.17765415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567477017702225))-π/2
    2×atan(0.566954050794018)-π/2
    2×0.515766512784187-π/2
    1.03153302556837-1.57079632675     		φ = -0.53926330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17765415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.178833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53926330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.897511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30915 KachelY 38687 -0.17765415 -0.53926330 -10.178833 -30.897511
    Oben rechts KachelX + 1 30916 KachelY 38687 -0.17755828 -0.53926330 -10.173340 -30.897511
    Unten links KachelX 30915 KachelY + 1 38688 -0.17765415 -0.53934557 -10.178833 -30.902225
    Unten rechts KachelX + 1 30916 KachelY + 1 38688 -0.17755828 -0.53934557 -10.173340 -30.902225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53926330--0.53934557) × R
    8.22700000000509e-05 × 6371000     		dl = 524.142170000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53926330--0.53934557) × R
    8.22700000000509e-05 × 6371000     		dr = 524.142170000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17765415--0.17755828) × cos(-0.53926330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.858087212563842 × 6371000     		do = 524.109175027374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17765415--0.17755828) × cos(-0.53934557) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.858044963687684 × 6371000     		du = 524.08336993052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53926330)-sin(-0.53934557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858087212563842-0.858044963687684)×R²
    abs(-0.17755828--0.17765415)×4.2248876158002e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2248876158002e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2248876158002e-05×40589641000000     		ar = 274700.957700811m²