Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30915 / 20203
↖ ↑ ↗
← N 56.622999°
W 10.178833°		 ← 336.02 m → N 56.622999°
W 10.173340°		 →
↑
336.07 m
↓
↑
336.07 m
↓
N 56.619976°
W 10.178833°		 ← 336.05 m →
112 932 m²		 N 56.619976°
W 10.173340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471733093261719 y=0.308280944824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471733093261719 × 216)
    floor (0.471733093261719 × 65536)
    floor (30915.5)     		tx = 30915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308280944824219 × 216)
    floor (0.308280944824219 × 65536)
    floor (20203.5)     		ty = 20203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30915 / 20203 ti = "16/30915/20203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30915/20203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30915 ÷ 216
    30915 ÷ 65536     		x = 0.471725463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20203 ÷ 216
    20203 ÷ 65536     		y = 0.308273315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471725463867188 × 2 - 1) × π
    -0.056549072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17765415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308273315429688 × 2 - 1) × π
    0.383453369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20465428745201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17765415} λ = -0.17765415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20465428745201))-π/2
    2×atan(3.33560571796153)-π/2
    2×1.27952704312908-π/2
    2.55905408625816-1.57079632675     		φ = 0.98825776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17765415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.178833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98825776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.622999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30915 KachelY 20203 -0.17765415 0.98825776 -10.178833 56.622999
    Oben rechts KachelX + 1 30916 KachelY 20203 -0.17755828 0.98825776 -10.173340 56.622999
    Unten links KachelX 30915 KachelY + 1 20204 -0.17765415 0.98820501 -10.178833 56.619976
    Unten rechts KachelX + 1 30916 KachelY + 1 20204 -0.17755828 0.98820501 -10.173340 56.619976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98825776-0.98820501) × R
    5.27499999999348e-05 × 6371000     		dl = 336.070249999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98825776-0.98820501) × R
    5.27499999999348e-05 × 6371000     		dr = 336.070249999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17765415--0.17755828) × cos(0.98825776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550145584999222 × 6371000     		do = 336.022195037013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17765415--0.17755828) × cos(0.98820501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550189634110927 × 6371000     		du = 336.049099695722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98825776)-sin(0.98820501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550145584999222-0.550189634110927)×R²
    abs(-0.17755828--0.17765415)×4.40491117058572e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40491117058572e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40491117058572e-05×40589641000000     		ar = 112931.584045264m²