Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30914 / 38686
↖ ↑ ↗
← S 30.892797°
W 10.184326°		 ← 524.13 m → S 30.892797°
W 10.178833°		 →
↑
524.14 m
↓
↑
524.14 m
↓
S 30.897511°
W 10.184326°		 ← 524.11 m →
274 714 m²		 S 30.897511°
W 10.178833°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471717834472656 y=0.590309143066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471717834472656 × 216)
    floor (0.471717834472656 × 65536)
    floor (30914.5)     		tx = 30914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590309143066406 × 216)
    floor (0.590309143066406 × 65536)
    floor (38686.5)     		ty = 38686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30914 / 38686 ti = "16/30914/38686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30914/38686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30914 ÷ 216
    30914 ÷ 65536     		x = 0.471710205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38686 ÷ 216
    38686 ÷ 65536     		y = 0.590301513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471710205078125 × 2 - 1) × π
    -0.05657958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17775002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590301513671875 × 2 - 1) × π
    -0.18060302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.567381143902985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17775002} λ = -0.17775002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567381143902985))-π/2
    2×atan(0.567008409438606)-π/2
    2×0.515807647837248-π/2
    1.0316152956745-1.57079632675     		φ = -0.53918103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17775002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.184326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53918103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.892797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30914 KachelY 38686 -0.17775002 -0.53918103 -10.184326 -30.892797
    Oben rechts KachelX + 1 30915 KachelY 38686 -0.17765415 -0.53918103 -10.178833 -30.892797
    Unten links KachelX 30914 KachelY + 1 38687 -0.17775002 -0.53926330 -10.184326 -30.897511
    Unten rechts KachelX + 1 30915 KachelY + 1 38687 -0.17765415 -0.53926330 -10.178833 -30.897511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53918103--0.53926330) × R
    8.22700000000509e-05 × 6371000     		dl = 524.142170000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53918103--0.53926330) × R
    8.22700000000509e-05 × 6371000     		dr = 524.142170000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17775002--0.17765415) × cos(-0.53918103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.858129455632163 × 6371000     		do = 524.134976576871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17775002--0.17765415) × cos(-0.53926330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.858087212563842 × 6371000     		du = 524.109175027374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53918103)-sin(-0.53926330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858129455632163-0.858087212563842)×R²
    abs(-0.17765415--0.17775002)×4.22430683209019e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.22430683209019e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.22430683209019e-05×40589641000000     		ar = 274714.482311139m²