Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30914 / 38275
↖ ↑ ↗
← S 28.936054°
W 10.184326°		 ← 534.54 m → S 28.936054°
W 10.178833°		 →
↑
534.59 m
↓
↑
534.59 m
↓
S 28.940862°
W 10.184326°		 ← 534.51 m →
285 752 m²		 S 28.940862°
W 10.178833°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471717834472656 y=0.584037780761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471717834472656 × 216)
    floor (0.471717834472656 × 65536)
    floor (30914.5)     		tx = 30914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584037780761719 × 216)
    floor (0.584037780761719 × 65536)
    floor (38275.5)     		ty = 38275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30914 / 38275 ti = "16/30914/38275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30914/38275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30914 ÷ 216
    30914 ÷ 65536     		x = 0.471710205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38275 ÷ 216
    38275 ÷ 65536     		y = 0.584030151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471710205078125 × 2 - 1) × π
    -0.05657958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17775002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584030151367188 × 2 - 1) × π
    -0.168060302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.527977012415298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17775002} λ = -0.17775002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.527977012415298))-π/2
    2×atan(0.58979691546357)-π/2
    2×0.532883451779178-π/2
    1.06576690355836-1.57079632675     		φ = -0.50502942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17775002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.184326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50502942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.936054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30914 KachelY 38275 -0.17775002 -0.50502942 -10.184326 -28.936054
    Oben rechts KachelX + 1 30915 KachelY 38275 -0.17765415 -0.50502942 -10.178833 -28.936054
    Unten links KachelX 30914 KachelY + 1 38276 -0.17775002 -0.50511333 -10.184326 -28.940862
    Unten rechts KachelX + 1 30915 KachelY + 1 38276 -0.17765415 -0.50511333 -10.178833 -28.940862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50502942--0.50511333) × R
    8.39100000000759e-05 × 6371000     		dl = 534.590610000483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50502942--0.50511333) × R
    8.39100000000759e-05 × 6371000     		dr = 534.590610000483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17775002--0.17765415) × cos(-0.50502942) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.875160240432561 × 6371000     		do = 534.537171646456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17775002--0.17765415) × cos(-0.50511333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.875119638908872 × 6371000     		du = 534.512372732344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50502942)-sin(-0.50511333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875160240432561-0.875119638908872)×R²
    abs(-0.17765415--0.17775002)×4.0601523688899e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.0601523688899e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.0601523688899e-05×40589641000000     		ar = 285751.92419283m²