Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30913 / 38841
↖ ↑ ↗
← S 31.620643°
W 10.189819°		 ← 520.16 m → S 31.620643°
W 10.184326°		 →
↑
520.13 m
↓
↑
520.13 m
↓
S 31.625321°
W 10.189819°		 ← 520.14 m →
270 545 m²		 S 31.625321°
W 10.184326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471702575683594 y=0.592674255371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471702575683594 × 216)
    floor (0.471702575683594 × 65536)
    floor (30913.5)     		tx = 30913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592674255371094 × 216)
    floor (0.592674255371094 × 65536)
    floor (38841.5)     		ty = 38841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30913 / 38841 ti = "16/30913/38841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30913/38841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30913 ÷ 216
    30913 ÷ 65536     		x = 0.471694946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38841 ÷ 216
    38841 ÷ 65536     		y = 0.592666625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471694946289062 × 2 - 1) × π
    -0.056610107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17784590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592666625976562 × 2 - 1) × π
    -0.185333251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.582241582785202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17784590} λ = -0.17784590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.582241582785202))-π/2
    2×atan(0.558644713633796)-π/2
    2×0.509455991387914-π/2
    1.01891198277583-1.57079632675     		φ = -0.55188434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17784590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.189819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55188434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.620643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30913 KachelY 38841 -0.17784590 -0.55188434 -10.189819 -31.620643
    Oben rechts KachelX + 1 30914 KachelY 38841 -0.17775002 -0.55188434 -10.184326 -31.620643
    Unten links KachelX 30913 KachelY + 1 38842 -0.17784590 -0.55196598 -10.189819 -31.625321
    Unten rechts KachelX + 1 30914 KachelY + 1 38842 -0.17775002 -0.55196598 -10.184326 -31.625321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55188434--0.55196598) × R
    8.16399999999939e-05 × 6371000     		dl = 520.128439999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55188434--0.55196598) × R
    8.16399999999939e-05 × 6371000     		dr = 520.128439999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17784590--0.17775002) × cos(-0.55188434) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.851538088644574 × 6371000     		do = 520.163301724869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17784590--0.17775002) × cos(-0.55196598) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.851495282547043 × 6371000     		du = 520.137153556839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55188434)-sin(-0.55196598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851538088644574-0.851495282547043)×R²
    abs(-0.17775002--0.17784590)×4.28060975309341e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.28060975309341e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.28060975309341e-05×40589641000000     		ar = 270544.926618618m²