Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30912 / 26432
↖ ↑ ↗
← N 72.554499°
W 95.097656°		 ← 91.55 m → N 72.554499°
W 95.094910°		 →
↑
91.61 m
↓
↑
91.61 m
↓
N 72.553675°
W 95.097656°		 ← 91.55 m →
8 387 m²		 N 72.553675°
W 95.094910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.235843658447266 y=0.201663970947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.235843658447266 × 217)
    floor (0.235843658447266 × 131072)
    floor (30912.5)     		tx = 30912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201663970947266 × 217)
    floor (0.201663970947266 × 131072)
    floor (26432.5)     		ty = 26432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30912 / 26432 ti = "17/30912/26432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30912/26432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30912 ÷ 217
    30912 ÷ 131072     		x = 0.23583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26432 ÷ 217
    26432 ÷ 131072     		y = 0.20166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23583984375 × 2 - 1) × π
    -0.5283203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.65976721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20166015625 × 2 - 1) × π
    0.5966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.87452452274268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.65976721} λ = -1.65976721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87452452274268))-π/2
    2×atan(6.51771935613136)-π/2
    2×1.41855560633935-π/2
    2.8371112126787-1.57079632675     		φ = 1.26631489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.65976721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.097656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26631489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.554499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30912 KachelY 26432 -1.65976721 1.26631489 -95.097656 72.554499
    Oben rechts KachelX + 1 30913 KachelY 26432 -1.65971928 1.26631489 -95.094910 72.554499
    Unten links KachelX 30912 KachelY + 1 26433 -1.65976721 1.26630051 -95.097656 72.553675
    Unten rechts KachelX + 1 30913 KachelY + 1 26433 -1.65971928 1.26630051 -95.094910 72.553675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26631489-1.26630051) × R
    1.43800000000915e-05 × 6371000     		dl = 91.6149800005832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26631489-1.26630051) × R
    1.43800000000915e-05 × 6371000     		dr = 91.6149800005832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.65976721--1.65971928) × cos(1.26631489) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.299798504922941 × 6371000     		do = 91.5470800542902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.65976721--1.65971928) × cos(1.26630051) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.299812223448545 × 6371000     		du = 91.5512691711174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26631489)-sin(1.26630051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299798504922941-0.299812223448545)×R²
    abs(-1.65971928--1.65976721)×1.37185256042227e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.37185256042227e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.37185256042227e-05×40589641000000     		ar = 8387.27580134432m²