Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30910 / 38082
↖ ↑ ↗
← S 28.004102°
W 10.206299°		 ← 539.27 m → S 28.004102°
W 10.200806°		 →
↑
539.31 m
↓
↑
539.31 m
↓
S 28.008952°
W 10.206299°		 ← 539.25 m →
290 826 m²		 S 28.008952°
W 10.200806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471656799316406 y=0.581092834472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471656799316406 × 216)
    floor (0.471656799316406 × 65536)
    floor (30910.5)     		tx = 30910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581092834472656 × 216)
    floor (0.581092834472656 × 65536)
    floor (38082.5)     		ty = 38082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30910 / 38082 ti = "16/30910/38082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30910/38082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30910 ÷ 216
    30910 ÷ 65536     		x = 0.471649169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38082 ÷ 216
    38082 ÷ 65536     		y = 0.581085205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471649169921875 × 2 - 1) × π
    -0.05670166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17813352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581085205078125 × 2 - 1) × π
    -0.16217041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.509473369161957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17813352} λ = -0.17813352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509473369161957))-π/2
    2×atan(0.60081190158753)-π/2
    2×0.541016272902025-π/2
    1.08203254580405-1.57079632675     		φ = -0.48876378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17813352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.206299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48876378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.004102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30910 KachelY 38082 -0.17813352 -0.48876378 -10.206299 -28.004102
    Oben rechts KachelX + 1 30911 KachelY 38082 -0.17803765 -0.48876378 -10.200806 -28.004102
    Unten links KachelX 30910 KachelY + 1 38083 -0.17813352 -0.48884843 -10.206299 -28.008952
    Unten rechts KachelX + 1 30911 KachelY + 1 38083 -0.17803765 -0.48884843 -10.200806 -28.008952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48876378--0.48884843) × R
    8.46500000000194e-05 × 6371000     		dl = 539.305150000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48876378--0.48884843) × R
    8.46500000000194e-05 × 6371000     		dr = 539.305150000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17813352--0.17803765) × cos(-0.48876378) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.88291398138936 × 6371000     		do = 539.273061794617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17813352--0.17803765) × cos(-0.48884843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.882874232107702 × 6371000     		du = 539.248783419514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48876378)-sin(-0.48884843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88291398138936-0.882874232107702)×R²
    abs(-0.17803765--0.17813352)×3.97492816579526e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.97492816579526e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.97492816579526e-05×40589641000000     		ar = 290826.192929356m²