Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30906 / 6250
↖ ↑ ↗
← N 73.695780°
E159.543457°		 ← 342.94 m → N 73.695780°
E159.554443°		 →
↑
342.95 m
↓
↑
342.95 m
↓
N 73.692696°
E159.543457°		 ← 343.01 m →
117 623 m²		 N 73.692696°
E159.554443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943191528320312 y=0.190750122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943191528320312 × 215)
    floor (0.943191528320312 × 32768)
    floor (30906.5)     		tx = 30906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190750122070312 × 215)
    floor (0.190750122070312 × 32768)
    floor (6250.5)     		ty = 6250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30906 / 6250 ti = "15/30906/6250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30906/6250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30906 ÷ 215
    30906 ÷ 32768     		x = 0.94317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6250 ÷ 215
    6250 ÷ 32768     		y = 0.19073486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94317626953125 × 2 - 1) × π
    0.8863525390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.78455863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19073486328125 × 2 - 1) × π
    0.6185302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.9431701629986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78455863} λ = 2.78455863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9431701629986))-π/2
    2×atan(6.98084634995305)-π/2
    2×1.42851516923232-π/2
    2.85703033846464-1.57079632675     		φ = 1.28623401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78455863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.543457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28623401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.695780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30906 KachelY 6250 2.78455863 1.28623401 159.543457 73.695780
    Oben rechts KachelX + 1 30907 KachelY 6250 2.78475037 1.28623401 159.554443 73.695780
    Unten links KachelX 30906 KachelY + 1 6251 2.78455863 1.28618018 159.543457 73.692696
    Unten rechts KachelX + 1 30907 KachelY + 1 6251 2.78475037 1.28618018 159.554443 73.692696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28623401-1.28618018) × R
    5.38300000001435e-05 × 6371000     		dl = 342.950930000914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28623401-1.28618018) × R
    5.38300000001435e-05 × 6371000     		dr = 342.950930000914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78455863-2.78475037) × cos(1.28623401) × R
    0.000191739999999996 × 0.280737396590568 × 6371000     		do = 342.94193683831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78455863-2.78475037) × cos(1.28618018) × R
    0.000191739999999996 × 0.280789061389822 × 6371000     		du = 343.005049293358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28623401)-sin(1.28618018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280737396590568-0.280789061389822)×R²
    abs(2.78475037-2.78455863)×5.16647992539476e-05×R²
    0.000191739999999996×5.16647992539476e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.16647992539476e-05×40589641000000     		ar = 117623.078440221m²