Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30906 / 38813
↖ ↑ ↗
← S 31.489578°
W 10.228271°		 ← 520.84 m → S 31.489578°
W 10.222778°		 →
↑
520.83 m
↓
↑
520.83 m
↓
S 31.494262°
W 10.228271°		 ← 520.81 m →
271 262 m²		 S 31.494262°
W 10.222778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471595764160156 y=0.592247009277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471595764160156 × 216)
    floor (0.471595764160156 × 65536)
    floor (30906.5)     		tx = 30906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592247009277344 × 216)
    floor (0.592247009277344 × 65536)
    floor (38813.5)     		ty = 38813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30906 / 38813 ti = "16/30906/38813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30906/38813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30906 ÷ 216
    30906 ÷ 65536     		x = 0.471588134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38813 ÷ 216
    38813 ÷ 65536     		y = 0.592239379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.05682373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17851701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592239379882812 × 2 - 1) × π
    -0.184478759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.579557116406479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17851701} λ = -0.17851701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.579557116406479))-π/2
    2×atan(0.560146391284979)-π/2
    2×0.51059975777926-π/2
    1.02119951555852-1.57079632675     		φ = -0.54959681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17851701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.228271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54959681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.489578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30906 KachelY 38813 -0.17851701 -0.54959681 -10.228271 -31.489578
    Oben rechts KachelX + 1 30907 KachelY 38813 -0.17842114 -0.54959681 -10.222778 -31.489578
    Unten links KachelX 30906 KachelY + 1 38814 -0.17851701 -0.54967856 -10.228271 -31.494262
    Unten rechts KachelX + 1 30907 KachelY + 1 38814 -0.17842114 -0.54967856 -10.222778 -31.494262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54959681--0.54967856) × R
    8.17499999999916e-05 × 6371000     		dl = 520.829249999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54959681--0.54967856) × R
    8.17499999999916e-05 × 6371000     		dr = 520.829249999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17851701--0.17842114) × cos(-0.54959681) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.852735195023509 × 6371000     		do = 520.840228168913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17851701--0.17842114) × cos(-0.54967856) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.852692490596498 × 6371000     		du = 520.814144827169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54959681)-sin(-0.54967856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852735195023509-0.852692490596498)×R²
    abs(-0.17842114--0.17851701)×4.27044270111532e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.27044270111532e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.27044270111532e-05×40589641000000     		ar = 271262.033074243m²