Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30905 / 6249
↖ ↑ ↗
← N 73.698864°
E159.532471°		 ← 342.90 m → N 73.698864°
E159.543457°		 →
↑
342.95 m
↓
↑
342.95 m
↓
N 73.695780°
E159.532471°		 ← 342.96 m →
117 608 m²		 N 73.695780°
E159.543457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943161010742188 y=0.190719604492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943161010742188 × 215)
    floor (0.943161010742188 × 32768)
    floor (30905.5)     		tx = 30905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190719604492188 × 215)
    floor (0.190719604492188 × 32768)
    floor (6249.5)     		ty = 6249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30905 / 6249 ti = "15/30905/6249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30905/6249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30905 ÷ 215
    30905 ÷ 32768     		x = 0.943145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6249 ÷ 215
    6249 ÷ 32768     		y = 0.190704345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943145751953125 × 2 - 1) × π
    0.88629150390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.78436688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190704345703125 × 2 - 1) × π
    0.61859130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.94336191059708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78436688} λ = 2.78436688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94336191059708))-π/2
    2×atan(6.9821850388171)-π/2
    2×1.4285420821164-π/2
    2.85708416423281-1.57079632675     		φ = 1.28628784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78436688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.532471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28628784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.698864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30905 KachelY 6249 2.78436688 1.28628784 159.532471 73.698864
    Oben rechts KachelX + 1 30906 KachelY 6249 2.78455863 1.28628784 159.543457 73.698864
    Unten links KachelX 30905 KachelY + 1 6250 2.78436688 1.28623401 159.532471 73.695780
    Unten rechts KachelX + 1 30906 KachelY + 1 6250 2.78455863 1.28623401 159.543457 73.695780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28628784-1.28623401) × R
    5.38299999999214e-05 × 6371000     		dl = 342.9509299995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28628784-1.28623401) × R
    5.38299999999214e-05 × 6371000     		dr = 342.9509299995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78436688-2.78455863) × cos(1.28628784) × R
    0.000191749999999935 × 0.280685730977831 × 6371000     		do = 342.896705877342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78436688-2.78455863) × cos(1.28623401) × R
    0.000191749999999935 × 0.280737396590568 × 6371000     		du = 342.959822617738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28628784)-sin(1.28623401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280685730977831-0.280737396590568)×R²
    abs(2.78455863-2.78436688)×5.1665612737728e-05×R²
    0.000191749999999935×5.1665612737728e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.1665612737728e-05×40589641000000     		ar = 117607.567175332m²