Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30904 / 6248
↖ ↑ ↗
← N 73.701948°
E159.521484°		 ← 342.83 m → N 73.701948°
E159.532471°		 →
↑
342.82 m
↓
↑
342.82 m
↓
N 73.698864°
E159.521484°		 ← 342.90 m →
117 542 m²		 N 73.698864°
E159.532471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943130493164062 y=0.190689086914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943130493164062 × 215)
    floor (0.943130493164062 × 32768)
    floor (30904.5)     		tx = 30904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190689086914062 × 215)
    floor (0.190689086914062 × 32768)
    floor (6248.5)     		ty = 6248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30904 / 6248 ti = "15/30904/6248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30904/6248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30904 ÷ 215
    30904 ÷ 32768     		x = 0.943115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6248 ÷ 215
    6248 ÷ 32768     		y = 0.190673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.943115234375 × 2 - 1) × π
    0.88623046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78417513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190673828125 × 2 - 1) × π
    0.61865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.94355365819556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78417513} λ = 2.78417513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94355365819556))-π/2
    2×atan(6.98352398439613)-π/2
    2×1.42856899004791-π/2
    2.85713798009583-1.57079632675     		φ = 1.28634165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78417513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.521484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28634165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.701948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30904 KachelY 6248 2.78417513 1.28634165 159.521484 73.701948
    Oben rechts KachelX + 1 30905 KachelY 6248 2.78436688 1.28634165 159.532471 73.701948
    Unten links KachelX 30904 KachelY + 1 6249 2.78417513 1.28628784 159.521484 73.698864
    Unten rechts KachelX + 1 30905 KachelY + 1 6249 2.78436688 1.28628784 159.532471 73.698864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28634165-1.28628784) × R
    5.3810000000043e-05 × 6371000     		dl = 342.823510000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28634165-1.28628784) × R
    5.3810000000043e-05 × 6371000     		dr = 342.823510000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78417513-2.78436688) × cos(1.28634165) × R
    0.000191749999999935 × 0.280634083748055 × 6371000     		do = 342.833611594295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78417513-2.78436688) × cos(1.28628784) × R
    0.000191749999999935 × 0.280685730977831 × 6371000     		du = 342.896705877342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28634165)-sin(1.28628784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.280634083748055-0.280685730977831)×R²
    abs(2.78436688-2.78417513)×5.16472297755199e-05×R²
    0.000191749999999935×5.16472297755199e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.16472297755199e-05×40589641000000     		ar = 117542.237203125m²