Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30902 / 38085
↖ ↑ ↗
← S 28.018651°
W 10.250244°		 ← 539.20 m → S 28.018651°
W 10.244751°		 →
↑
539.18 m
↓
↑
539.18 m
↓
S 28.023500°
W 10.250244°		 ← 539.18 m →
290 718 m²		 S 28.023500°
W 10.244751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471534729003906 y=0.581138610839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471534729003906 × 216)
    floor (0.471534729003906 × 65536)
    floor (30902.5)     		tx = 30902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581138610839844 × 216)
    floor (0.581138610839844 × 65536)
    floor (38085.5)     		ty = 38085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30902 / 38085 ti = "16/30902/38085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30902/38085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30902 ÷ 216
    30902 ÷ 65536     		x = 0.471527099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38085 ÷ 216
    38085 ÷ 65536     		y = 0.581130981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.05694580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17890051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581130981445312 × 2 - 1) × π
    -0.162261962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.509760990559677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17890051} λ = -0.17890051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509760990559677))-π/2
    2×atan(0.60063912007765)-π/2
    2×0.540889309000079-π/2
    1.08177861800016-1.57079632675     		φ = -0.48901771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17890051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.250244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48901771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.018651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30902 KachelY 38085 -0.17890051 -0.48901771 -10.250244 -28.018651
    Oben rechts KachelX + 1 30903 KachelY 38085 -0.17880464 -0.48901771 -10.244751 -28.018651
    Unten links KachelX 30902 KachelY + 1 38086 -0.17890051 -0.48910234 -10.250244 -28.023500
    Unten rechts KachelX + 1 30903 KachelY + 1 38086 -0.17880464 -0.48910234 -10.244751 -28.023500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48901771--0.48910234) × R
    8.463000000003e-05 × 6371000     		dl = 539.177730000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48901771--0.48910234) × R
    8.463000000003e-05 × 6371000     		dr = 539.177730000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17890051--0.17880464) × cos(-0.48901771) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.88279472396082 × 6371000     		do = 539.200220815939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17890051--0.17880464) × cos(-0.48910234) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.882754965099155 × 6371000     		du = 539.175936589485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48901771)-sin(-0.48910234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88279472396082-0.882754965099155)×R²
    abs(-0.17880464--0.17890051)×3.97588616656286e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.97588616656286e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.97588616656286e-05×40589641000000     		ar = 290718.204491624m²