Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30900 / 6260
↖ ↑ ↗
← N 73.664909°
E159.477539°		 ← 343.59 m → N 73.664909°
E159.488526°		 →
↑
343.65 m
↓
↑
343.65 m
↓
N 73.661819°
E159.477539°		 ← 343.65 m →
118 087 m²		 N 73.661819°
E159.488526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943008422851562 y=0.191055297851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943008422851562 × 215)
    floor (0.943008422851562 × 32768)
    floor (30900.5)     		tx = 30900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191055297851562 × 215)
    floor (0.191055297851562 × 32768)
    floor (6260.5)     		ty = 6260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30900 / 6260 ti = "15/30900/6260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30900/6260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30900 ÷ 215
    30900 ÷ 32768     		x = 0.9429931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6260 ÷ 215
    6260 ÷ 32768     		y = 0.1910400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9429931640625 × 2 - 1) × π
    0.885986328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78340814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1910400390625 × 2 - 1) × π
    0.617919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.94125268701379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78340814} λ = 2.78340814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94125268701379))-π/2
    2×atan(6.96747356981313)-π/2
    2×1.42824576781659-π/2
    2.85649153563317-1.57079632675     		φ = 1.28569521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78340814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.477539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28569521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.664909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30900 KachelY 6260 2.78340814 1.28569521 159.477539 73.664909
    Oben rechts KachelX + 1 30901 KachelY 6260 2.78359989 1.28569521 159.488526 73.664909
    Unten links KachelX 30900 KachelY + 1 6261 2.78340814 1.28564127 159.477539 73.661819
    Unten rechts KachelX + 1 30901 KachelY + 1 6261 2.78359989 1.28564127 159.488526 73.661819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28569521-1.28564127) × R
    5.39400000001411e-05 × 6371000     		dl = 343.651740000899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28569521-1.28564127) × R
    5.39400000001411e-05 × 6371000     		dr = 343.651740000899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78340814-2.78359989) × cos(1.28569521) × R
    0.000191749999999935 × 0.281254487768268 × 6371000     		do = 343.591521496245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78340814-2.78359989) × cos(1.28564127) × R
    0.000191749999999935 × 0.281306249974865 × 6371000     		du = 343.65475623949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28569521)-sin(1.28564127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281254487768268-0.281306249974865)×R²
    abs(2.78359989-2.78340814)×5.17622065962509e-05×R²
    0.000191749999999935×5.17622065962509e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.17622065962509e-05×40589641000000     		ar = 118086.689605218m²