Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3090 / 5038
↖ ↑ ↗
← S 38.203655°
W 44.208985°		 ← 3 839.89 m → S 38.203655°
W 44.165039°		 →
↑
3 838.97 m
↓
↑
3 838.97 m
↓
S 38.238180°
W 44.208985°		 ← 3 838.07 m →
14 737 746 m²		 S 38.238180°
W 44.165039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37725830078125 y=0.61505126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37725830078125 × 213)
    floor (0.37725830078125 × 8192)
    floor (3090.5)     		tx = 3090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61505126953125 × 213)
    floor (0.61505126953125 × 8192)
    floor (5038.5)     		ty = 5038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3090 / 5038 ti = "13/3090/5038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3090/5038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3090 ÷ 213
    3090 ÷ 8192     		x = 0.377197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5038 ÷ 213
    5038 ÷ 8192     		y = 0.614990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377197265625 × 2 - 1) × π
    -0.24560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77159234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614990234375 × 2 - 1) × π
    -0.22998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.722504951073486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77159234} λ = -0.77159234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.722504951073486))-π/2
    2×atan(0.485534491231182)-π/2
    2×0.452008377606868-π/2
    0.904016755213735-1.57079632675     		φ = -0.66677957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77159234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.208985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66677957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.203655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3090 KachelY 5038 -0.77159234 -0.66677957 -44.208985 -38.203655
    Oben rechts KachelX + 1 3091 KachelY 5038 -0.77082535 -0.66677957 -44.165039 -38.203655
    Unten links KachelX 3090 KachelY + 1 5039 -0.77159234 -0.66738214 -44.208985 -38.238180
    Unten rechts KachelX + 1 3091 KachelY + 1 5039 -0.77082535 -0.66738214 -44.165039 -38.238180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66677957--0.66738214) × R
    0.000602569999999969 × 6371000     		dl = 3838.9734699998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66677957--0.66738214) × R
    0.000602569999999969 × 6371000     		dr = 3838.9734699998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77159234--0.77082535) × cos(-0.66677957) × R
    0.000766990000000023 × 0.785817439756181 × 6371000     		do = 3839.89164653367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77159234--0.77082535) × cos(-0.66738214) × R
    0.000766990000000023 × 0.785444632561802 × 6371000     		du = 3838.06992667988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66677957)-sin(-0.66738214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.785817439756181-0.785444632561802)×R²
    abs(-0.77082535--0.77159234)×0.000372807194378377×R²
    0.000766990000000023×0.000372807194378377×6371000²
    0.000766990000000023×0.000372807194378377×40589641000000     		ar = 14737745.8375487m²