Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30899 / 6317
↖ ↑ ↗
← N 73.487855°
E159.466553°		 ← 347.21 m → N 73.487855°
E159.477539°		 →
↑
347.22 m
↓
↑
347.22 m
↓
N 73.484732°
E159.466553°		 ← 347.28 m →
120 570 m²		 N 73.484732°
E159.477539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.942977905273438 y=0.192794799804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.942977905273438 × 215)
    floor (0.942977905273438 × 32768)
    floor (30899.5)     		tx = 30899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192794799804688 × 215)
    floor (0.192794799804688 × 32768)
    floor (6317.5)     		ty = 6317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30899 / 6317 ti = "15/30899/6317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30899/6317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30899 ÷ 215
    30899 ÷ 32768     		x = 0.942962646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6317 ÷ 215
    6317 ÷ 32768     		y = 0.192779541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.942962646484375 × 2 - 1) × π
    0.88592529296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78321639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192779541015625 × 2 - 1) × π
    0.61444091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93032307390042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78321639} λ = 2.78321639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93032307390042))-π/2
    2×atan(6.89173642211808)-π/2
    2×1.42670068028225-π/2
    2.85340136056449-1.57079632675     		φ = 1.28260503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78321639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.466553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28260503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.487855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30899 KachelY 6317 2.78321639 1.28260503 159.466553 73.487855
    Oben rechts KachelX + 1 30900 KachelY 6317 2.78340814 1.28260503 159.477539 73.487855
    Unten links KachelX 30899 KachelY + 1 6318 2.78321639 1.28255053 159.466553 73.484732
    Unten rechts KachelX + 1 30900 KachelY + 1 6318 2.78340814 1.28255053 159.477539 73.484732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28260503-1.28255053) × R
    5.45000000000684e-05 × 6371000     		dl = 347.219500000436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28260503-1.28255053) × R
    5.45000000000684e-05 × 6371000     		dr = 347.219500000436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78321639-2.78340814) × cos(1.28260503) × R
    0.000191749999999935 × 0.284218579547945 × 6371000     		do = 347.2125723549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78321639-2.78340814) × cos(1.28255053) × R
    0.000191749999999935 × 0.284270831519143 × 6371000     		du = 347.276405413805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28260503)-sin(1.28255053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284218579547945-0.284270831519143)×R²
    abs(2.78340814-2.78321639)×5.22519711982361e-05×R²
    0.000191749999999935×5.22519711982361e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.22519711982361e-05×40589641000000     		ar = 120570.057838772m²