Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30899 / 38629
↖ ↑ ↗
← S 30.623732°
W 10.266724°		 ← 525.60 m → S 30.623732°
W 10.261231°		 →
↑
525.61 m
↓
↑
525.61 m
↓
S 30.628459°
W 10.266724°		 ← 525.58 m →
276 254 m²		 S 30.628459°
W 10.261231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471488952636719 y=0.589439392089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471488952636719 × 216)
    floor (0.471488952636719 × 65536)
    floor (30899.5)     		tx = 30899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589439392089844 × 216)
    floor (0.589439392089844 × 65536)
    floor (38629.5)     		ty = 38629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30899 / 38629 ti = "16/30899/38629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30899/38629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30899 ÷ 216
    30899 ÷ 65536     		x = 0.471481323242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38629 ÷ 216
    38629 ÷ 65536     		y = 0.589431762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471481323242188 × 2 - 1) × π
    -0.057037353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17918813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589431762695312 × 2 - 1) × π
    -0.178863525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.561916337346298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17918813} λ = -0.17918813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.561916337346298))-π/2
    2×atan(0.570115482757029)-π/2
    2×0.518155687502292-π/2
    1.03631137500458-1.57079632675     		φ = -0.53448495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17918813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.266724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53448495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.623732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30899 KachelY 38629 -0.17918813 -0.53448495 -10.266724 -30.623732
    Oben rechts KachelX + 1 30900 KachelY 38629 -0.17909226 -0.53448495 -10.261231 -30.623732
    Unten links KachelX 30899 KachelY + 1 38630 -0.17918813 -0.53456745 -10.266724 -30.628459
    Unten rechts KachelX + 1 30900 KachelY + 1 38630 -0.17909226 -0.53456745 -10.261231 -30.628459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53448495--0.53456745) × R
    8.25000000000964e-05 × 6371000     		dl = 525.607500000614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53448495--0.53456745) × R
    8.25000000000964e-05 × 6371000     		dr = 525.607500000614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17918813--0.17909226) × cos(-0.53448495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.860531108785979 × 6371000     		do = 525.601876951004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17918813--0.17909226) × cos(-0.53456745) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.860489080531569 × 6371000     		du = 525.576206607216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53448495)-sin(-0.53456745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860531108785979-0.860489080531569)×R²
    abs(-0.17909226--0.17918813)×4.20282544107975e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.20282544107975e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.20282544107975e-05×40589641000000     		ar = 276253.542434223m²