Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30898 / 6325
↖ ↑ ↗
← N 73.462857°
E159.455566°		 ← 347.72 m → N 73.462857°
E159.466553°		 →
↑
347.79 m
↓
↑
347.79 m
↓
N 73.459729°
E159.455566°		 ← 347.79 m →
120 947 m²		 N 73.459729°
E159.466553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.942947387695312 y=0.193038940429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.942947387695312 × 215)
    floor (0.942947387695312 × 32768)
    floor (30898.5)     		tx = 30898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193038940429688 × 215)
    floor (0.193038940429688 × 32768)
    floor (6325.5)     		ty = 6325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30898 / 6325 ti = "15/30898/6325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30898/6325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30898 ÷ 215
    30898 ÷ 32768     		x = 0.94293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6325 ÷ 215
    6325 ÷ 32768     		y = 0.193023681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94293212890625 × 2 - 1) × π
    0.8858642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78302464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193023681640625 × 2 - 1) × π
    0.61395263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92878909311258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78302464} λ = 2.78302464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92878909311258))-π/2
    2×atan(6.88117273516955)-π/2
    2×1.42648252698991-π/2
    2.85296505397981-1.57079632675     		φ = 1.28216873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78302464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.455566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28216873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.462857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30898 KachelY 6325 2.78302464 1.28216873 159.455566 73.462857
    Oben rechts KachelX + 1 30899 KachelY 6325 2.78321639 1.28216873 159.466553 73.462857
    Unten links KachelX 30898 KachelY + 1 6326 2.78302464 1.28211414 159.455566 73.459729
    Unten rechts KachelX + 1 30899 KachelY + 1 6326 2.78321639 1.28211414 159.466553 73.459729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28216873-1.28211414) × R
    5.45899999999655e-05 × 6371000     		dl = 347.79288999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28216873-1.28211414) × R
    5.45899999999655e-05 × 6371000     		dr = 347.79288999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78302464-2.78321639) × cos(1.28216873) × R
    0.000191750000000379 × 0.284636859257524 × 6371000     		do = 347.723559266405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78302464-2.78321639) × cos(1.28211414) × R
    0.000191750000000379 × 0.284689190740669 × 6371000     		du = 347.787489460226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28216873)-sin(1.28211414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284636859257524-0.284689190740669)×R²
    abs(2.78321639-2.78302464)×5.23314831448185e-05×R²
    0.000191750000000379×5.23314831448185e-05×6371000²
    0.000191750000000379×5.23314831448185e-05×40589641000000     		ar = 120946.898861323m²