Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30896 / 6321
↖ ↑ ↗
← N 73.475361°
E159.433594°		 ← 347.47 m → N 73.475361°
E159.444580°		 →
↑
347.47 m
↓
↑
347.47 m
↓
N 73.472236°
E159.433594°		 ← 347.53 m →
120 747 m²		 N 73.472236°
E159.444580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.942886352539062 y=0.192916870117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.942886352539062 × 215)
    floor (0.942886352539062 × 32768)
    floor (30896.5)     		tx = 30896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192916870117188 × 215)
    floor (0.192916870117188 × 32768)
    floor (6321.5)     		ty = 6321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30896 / 6321 ti = "15/30896/6321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30896/6321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30896 ÷ 215
    30896 ÷ 32768     		x = 0.94287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6321 ÷ 215
    6321 ÷ 32768     		y = 0.192901611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94287109375 × 2 - 1) × π
    0.8857421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78264115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192901611328125 × 2 - 1) × π
    0.61419677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.9295560835065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78264115} λ = 2.78264115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9295560835065))-π/2
    2×atan(6.88645255308231)-π/2
    2×1.42659164373875-π/2
    2.85318328747749-1.57079632675     		φ = 1.28238696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78264115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.433594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28238696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.475361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30896 KachelY 6321 2.78264115 1.28238696 159.433594 73.475361
    Oben rechts KachelX + 1 30897 KachelY 6321 2.78283290 1.28238696 159.444580 73.475361
    Unten links KachelX 30896 KachelY + 1 6322 2.78264115 1.28233242 159.433594 73.472236
    Unten rechts KachelX + 1 30897 KachelY + 1 6322 2.78283290 1.28233242 159.444580 73.472236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28238696-1.28233242) × R
    5.45400000000473e-05 × 6371000     		dl = 347.474340000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28238696-1.28233242) × R
    5.45400000000473e-05 × 6371000     		dr = 347.474340000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78264115-2.78283290) × cos(1.28238696) × R
    0.000191749999999935 × 0.284427649474811 × 6371000     		do = 347.467980383553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78264115-2.78283290) × cos(1.28233242) × R
    0.000191749999999935 × 0.284479936413851 × 6371000     		du = 347.531856160547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28238696)-sin(1.28233242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284427649474811-0.284479936413851)×R²
    abs(2.78283290-2.78264115)×5.22869390400249e-05×R²
    0.000191749999999935×5.22869390400249e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.22869390400249e-05×40589641000000     		ar = 120747.304781301m²