Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30892 / 20196
↖ ↑ ↗
← N 56.644147°
W 10.305176°		 ← 335.87 m → N 56.644147°
W 10.299682°		 →
↑
335.88 m
↓
↑
335.88 m
↓
N 56.641127°
W 10.305176°		 ← 335.90 m →
112 816 m²		 N 56.641127°
W 10.299682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471382141113281 y=0.308174133300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471382141113281 × 216)
    floor (0.471382141113281 × 65536)
    floor (30892.5)     		tx = 30892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308174133300781 × 216)
    floor (0.308174133300781 × 65536)
    floor (20196.5)     		ty = 20196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30892 / 20196 ti = "16/30892/20196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30892/20196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30892 ÷ 216
    30892 ÷ 65536     		x = 0.47137451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20196 ÷ 216
    20196 ÷ 65536     		y = 0.30816650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47137451171875 × 2 - 1) × π
    -0.0572509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17985925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30816650390625 × 2 - 1) × π
    0.3836669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20532540404669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17985925} λ = -0.17985925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20532540404669))-π/2
    2×atan(3.33784504965445)-π/2
    2×1.27971159732128-π/2
    2.55942319464257-1.57079632675     		φ = 0.98862687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17985925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.305176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98862687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.644147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30892 KachelY 20196 -0.17985925 0.98862687 -10.305176 56.644147
    Oben rechts KachelX + 1 30893 KachelY 20196 -0.17976337 0.98862687 -10.299682 56.644147
    Unten links KachelX 30892 KachelY + 1 20197 -0.17985925 0.98857415 -10.305176 56.641127
    Unten rechts KachelX + 1 30893 KachelY + 1 20197 -0.17976337 0.98857415 -10.299682 56.641127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98862687-0.98857415) × R
    5.27200000000061e-05 × 6371000     		dl = 335.879120000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98862687-0.98857415) × R
    5.27200000000061e-05 × 6371000     		dr = 335.879120000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17985925--0.17976337) × cos(0.98862687) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.549837315299393 × 6371000     		do = 335.868937809835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17985925--0.17976337) × cos(0.98857415) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.549881350062882 × 6371000     		du = 335.895836510284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98862687)-sin(0.98857415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549837315299393-0.549881350062882)×R²
    abs(-0.17976337--0.17985925)×4.40347634891314e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.40347634891314e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.40347634891314e-05×40589641000000     		ar = 112815.880648969m²