Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3089 / 3249
↖ ↑ ↗
← S 71.992578°
E 91.494141°		 ← 3 021.22 m → S 71.992578°
E 91.582031°		 →
↑
3 019.03 m
↓
↑
3 019.03 m
↓
S 72.019729°
E 91.494141°		 ← 3 016.82 m →
9 114 501 m²		 S 72.019729°
E 91.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7542724609375 y=0.7933349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7542724609375 × 212)
    floor (0.7542724609375 × 4096)
    floor (3089.5)     		tx = 3089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7933349609375 × 212)
    floor (0.7933349609375 × 4096)
    floor (3249.5)     		ty = 3249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3089 / 3249 ti = "12/3089/3249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3089/3249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3089 ÷ 212
    3089 ÷ 4096     		x = 0.754150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3249 ÷ 212
    3249 ÷ 4096     		y = 0.793212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.754150390625 × 2 - 1) × π
    0.50830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.59687400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.793212890625 × 2 - 1) × π
    -0.58642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.842310926198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59687400} λ = 1.59687400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.842310926198))-π/2
    2×atan(0.158450834502448)-π/2
    2×0.1571444014117-π/2
    0.314288802823401-1.57079632675     		φ = -1.25650752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59687400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.494141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25650752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.992578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3089 KachelY 3249 1.59687400 -1.25650752 91.494141 -71.992578
    Oben rechts KachelX + 1 3090 KachelY 3249 1.59840798 -1.25650752 91.582031 -71.992578
    Unten links KachelX 3089 KachelY + 1 3250 1.59687400 -1.25698139 91.494141 -72.019729
    Unten rechts KachelX + 1 3090 KachelY + 1 3250 1.59840798 -1.25698139 91.582031 -72.019729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25650752--1.25698139) × R
    0.000473869999999987 × 6371000     		dl = 3019.02576999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25650752--1.25698139) × R
    0.000473869999999987 × 6371000     		dr = 3019.02576999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59687400-1.59840798) × cos(-1.25650752) × R
    0.00153398000000005 × 0.309140193008558 × 6371000     		do = 3021.22295761133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59687400-1.59840798) × cos(-1.25698139) × R
    0.00153398000000005 × 0.30868950013794 × 6371000     		du = 3016.81834223509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25650752)-sin(-1.25698139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309140193008558-0.30868950013794)×R²
    abs(1.59840798-1.59687400)×0.000450692870617553×R²
    0.00153398000000005×0.000450692870617553×6371000²
    0.00153398000000005×0.000450692870617553×40589641000000     		ar = 9114501.31283649m²