Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30887 / 38815
↖ ↑ ↗
← S 31.498946°
W 10.332642°		 ← 520.84 m → S 31.498946°
W 10.327148°		 →
↑
520.83 m
↓
↑
520.83 m
↓
S 31.503629°
W 10.332642°		 ← 520.82 m →
271 263 m²		 S 31.503629°
W 10.327148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471305847167969 y=0.592277526855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471305847167969 × 216)
    floor (0.471305847167969 × 65536)
    floor (30887.5)     		tx = 30887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592277526855469 × 216)
    floor (0.592277526855469 × 65536)
    floor (38815.5)     		ty = 38815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30887 / 38815 ti = "16/30887/38815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30887/38815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30887 ÷ 216
    30887 ÷ 65536     		x = 0.471298217773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38815 ÷ 216
    38815 ÷ 65536     		y = 0.592269897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471298217773438 × 2 - 1) × π
    -0.057403564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18033862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592269897460938 × 2 - 1) × π
    -0.184539794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.579748864004959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18033862} λ = -0.18033862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.579748864004959))-π/2
    2×atan(0.560038994856485)-π/2
    2×0.510518006910867-π/2
    1.02103601382173-1.57079632675     		φ = -0.54976031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18033862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.332642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54976031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.498946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30887 KachelY 38815 -0.18033862 -0.54976031 -10.332642 -31.498946
    Oben rechts KachelX + 1 30888 KachelY 38815 -0.18024274 -0.54976031 -10.327148 -31.498946
    Unten links KachelX 30887 KachelY + 1 38816 -0.18033862 -0.54984206 -10.332642 -31.503629
    Unten rechts KachelX + 1 30888 KachelY + 1 38816 -0.18024274 -0.54984206 -10.327148 -31.503629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54976031--0.54984206) × R
    8.17499999999916e-05 × 6371000     		dl = 520.829249999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54976031--0.54984206) × R
    8.17499999999916e-05 × 6371000     		dr = 520.829249999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18033862--0.18024274) × cos(-0.54976031) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.852649780470889 × 6371000     		do = 520.842380322278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18033862--0.18024274) × cos(-0.54984206) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.852607064646969 × 6371000     		du = 520.816287298017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54976031)-sin(-0.54984206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852649780470889-0.852607064646969)×R²
    abs(-0.18024274--0.18033862)×4.27158239201253e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.27158239201253e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.27158239201253e-05×40589641000000     		ar = 271263.151457594m²