Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30887 / 17224
↖ ↑ ↗
← N 64.605038°
W 10.332642°		 ← 261.97 m → N 64.605038°
W 10.327148°		 →
↑
261.98 m
↓
↑
261.98 m
↓
N 64.602682°
W 10.332642°		 ← 261.99 m →
68 632 m²		 N 64.602682°
W 10.327148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471305847167969 y=0.262825012207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471305847167969 × 216)
    floor (0.471305847167969 × 65536)
    floor (30887.5)     		tx = 30887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262825012207031 × 216)
    floor (0.262825012207031 × 65536)
    floor (17224.5)     		ty = 17224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30887 / 17224 ti = "16/30887/17224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30887/17224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30887 ÷ 216
    30887 ÷ 65536     		x = 0.471298217773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17224 ÷ 216
    17224 ÷ 65536     		y = 0.2628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471298217773438 × 2 - 1) × π
    -0.057403564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18033862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2628173828125 × 2 - 1) × π
    0.474365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49026233538831
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18033862} λ = -0.18033862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49026233538831))-π/2
    2×atan(4.43825967887308)-π/2
    2×1.3491834725404-π/2
    2.69836694508079-1.57079632675     		φ = 1.12757062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18033862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.332642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12757062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.605038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30887 KachelY 17224 -0.18033862 1.12757062 -10.332642 64.605038
    Oben rechts KachelX + 1 30888 KachelY 17224 -0.18024274 1.12757062 -10.327148 64.605038
    Unten links KachelX 30887 KachelY + 1 17225 -0.18033862 1.12752950 -10.332642 64.602682
    Unten rechts KachelX + 1 30888 KachelY + 1 17225 -0.18024274 1.12752950 -10.327148 64.602682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12757062-1.12752950) × R
    4.11199999998946e-05 × 6371000     		dl = 261.975519999328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12757062-1.12752950) × R
    4.11199999998946e-05 × 6371000     		dr = 261.975519999328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18033862--0.18024274) × cos(1.12757062) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.428855707605151 × 6371000     		do = 261.967143697034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18033862--0.18024274) × cos(1.12752950) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.428892853940447 × 6371000     		du = 261.989834590926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12757062)-sin(1.12752950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428855707605151-0.428892853940447)×R²
    abs(-0.18024274--0.18033862)×3.71463352952794e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.71463352952794e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.71463352952794e-05×40589641000000     		ar = 68631.9509315607m²