Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30886 / 38413
↖ ↑ ↗
← S 29.597342°
W 10.338135°		 ← 531.09 m → S 29.597342°
W 10.332642°		 →
↑
531.09 m
↓
↑
531.09 m
↓
S 29.602118°
W 10.338135°		 ← 531.07 m →
282 049 m²		 S 29.602118°
W 10.332642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471290588378906 y=0.586143493652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471290588378906 × 216)
    floor (0.471290588378906 × 65536)
    floor (30886.5)     		tx = 30886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586143493652344 × 216)
    floor (0.586143493652344 × 65536)
    floor (38413.5)     		ty = 38413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30886 / 38413 ti = "16/30886/38413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30886/38413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30886 ÷ 216
    30886 ÷ 65536     		x = 0.471282958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38413 ÷ 216
    38413 ÷ 65536     		y = 0.586135864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.05743408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18043449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586135864257812 × 2 - 1) × π
    -0.172271728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.541207596710434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18043449} λ = -0.18043449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.541207596710434))-π/2
    2×atan(0.582044952238345)-π/2
    2×0.527112630227952-π/2
    1.0542252604559-1.57079632675     		φ = -0.51657107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18043449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.338135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51657107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.597342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30886 KachelY 38413 -0.18043449 -0.51657107 -10.338135 -29.597342
    Oben rechts KachelX + 1 30887 KachelY 38413 -0.18033862 -0.51657107 -10.332642 -29.597342
    Unten links KachelX 30886 KachelY + 1 38414 -0.18043449 -0.51665443 -10.338135 -29.602118
    Unten rechts KachelX + 1 30887 KachelY + 1 38414 -0.18033862 -0.51665443 -10.332642 -29.602118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51657107--0.51665443) × R
    8.33599999999768e-05 × 6371000     		dl = 531.086559999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51657107--0.51665443) × R
    8.33599999999768e-05 × 6371000     		dr = 531.086559999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18043449--0.18033862) × cos(-0.51657107) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.869517841836569 × 6371000     		do = 531.090863590559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18043449--0.18033862) × cos(-0.51665443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.869476667183867 × 6371000     		du = 531.065714616254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51657107)-sin(-0.51665443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869517841836569-0.869476667183867)×R²
    abs(-0.18033862--0.18043449)×4.11746527022583e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.11746527022583e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.11746527022583e-05×40589641000000     		ar = 282048.54181388m²