Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30885 / 38325
↖ ↑ ↗
← S 29.176145°
W 10.343628°		 ← 533.29 m → S 29.176145°
W 10.338135°		 →
↑
533.25 m
↓
↑
533.25 m
↓
S 29.180941°
W 10.343628°		 ← 533.27 m →
284 374 m²		 S 29.180941°
W 10.338135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471275329589844 y=0.584800720214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471275329589844 × 216)
    floor (0.471275329589844 × 65536)
    floor (30885.5)     		tx = 30885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584800720214844 × 216)
    floor (0.584800720214844 × 65536)
    floor (38325.5)     		ty = 38325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30885 / 38325 ti = "16/30885/38325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30885/38325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30885 ÷ 216
    30885 ÷ 65536     		x = 0.471267700195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38325 ÷ 216
    38325 ÷ 65536     		y = 0.584793090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471267700195312 × 2 - 1) × π
    -0.057464599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18053036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584793090820312 × 2 - 1) × π
    -0.169586181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.532770702377304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18053036} λ = -0.18053036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.532770702377304))-π/2
    2×atan(0.586976377703266)-π/2
    2×0.530788265166321-π/2
    1.06157653033264-1.57079632675     		φ = -0.50921980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18053036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.343628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50921980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.176145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30885 KachelY 38325 -0.18053036 -0.50921980 -10.343628 -29.176145
    Oben rechts KachelX + 1 30886 KachelY 38325 -0.18043449 -0.50921980 -10.338135 -29.176145
    Unten links KachelX 30885 KachelY + 1 38326 -0.18053036 -0.50930350 -10.343628 -29.180941
    Unten rechts KachelX + 1 30886 KachelY + 1 38326 -0.18043449 -0.50930350 -10.338135 -29.180941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50921980--0.50930350) × R
    8.37000000000199e-05 × 6371000     		dl = 533.252700000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50921980--0.50930350) × R
    8.37000000000199e-05 × 6371000     		dr = 533.252700000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18053036--0.18043449) × cos(-0.50921980) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.873125117870097 × 6371000     		do = 533.294143674852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18053036--0.18043449) × cos(-0.50930350) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.873084311381197 × 6371000     		du = 533.269219570495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50921980)-sin(-0.50930350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873125117870097-0.873084311381197)×R²
    abs(-0.18043449--0.18053036)×4.080648890048e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.080648890048e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.080648890048e-05×40589641000000     		ar = 284373.896751927m²