Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30884 / 38410
↖ ↑ ↗
← S 29.583012°
W 10.349121°		 ← 531.22 m → S 29.583012°
W 10.343628°		 →
↑
531.15 m
↓
↑
531.15 m
↓
S 29.587789°
W 10.349121°		 ← 531.20 m →
282 152 m²		 S 29.587789°
W 10.343628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471260070800781 y=0.586097717285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471260070800781 × 216)
    floor (0.471260070800781 × 65536)
    floor (30884.5)     		tx = 30884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586097717285156 × 216)
    floor (0.586097717285156 × 65536)
    floor (38410.5)     		ty = 38410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30884 / 38410 ti = "16/30884/38410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30884/38410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30884 ÷ 216
    30884 ÷ 65536     		x = 0.47125244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38410 ÷ 216
    38410 ÷ 65536     		y = 0.586090087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47125244140625 × 2 - 1) × π
    -0.0574951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18062624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586090087890625 × 2 - 1) × π
    -0.17218017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.540919975312714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18062624} λ = -0.18062624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.540919975312714))-π/2
    2×atan(0.582212384898497)-π/2
    2×0.527237685077641-π/2
    1.05447537015528-1.57079632675     		φ = -0.51632096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18062624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.349121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51632096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.583012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30884 KachelY 38410 -0.18062624 -0.51632096 -10.349121 -29.583012
    Oben rechts KachelX + 1 30885 KachelY 38410 -0.18053036 -0.51632096 -10.343628 -29.583012
    Unten links KachelX 30884 KachelY + 1 38411 -0.18062624 -0.51640433 -10.349121 -29.587789
    Unten rechts KachelX + 1 30885 KachelY + 1 38411 -0.18053036 -0.51640433 -10.343628 -29.587789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51632096--0.51640433) × R
    8.3369999999916e-05 × 6371000     		dl = 531.150269999465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51632096--0.51640433) × R
    8.3369999999916e-05 × 6371000     		dr = 531.150269999465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18062624--0.18053036) × cos(-0.51632096) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.869641344350952 × 6371000     		do = 531.221702265928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18062624--0.18053036) × cos(-0.51640433) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.869600182890268 × 6371000     		du = 531.19655872675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51632096)-sin(-0.51640433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869641344350952-0.869600182890268)×R²
    abs(-0.18053036--0.18062624)×4.11614606842248e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.11614606842248e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.11614606842248e-05×40589641000000     		ar = 282151.873252694m²