Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30883 / 38627
↖ ↑ ↗
← S 30.614277°
W 10.354614°		 ← 525.65 m → S 30.614277°
W 10.349121°		 →
↑
525.67 m
↓
↑
525.67 m
↓
S 30.619005°
W 10.354614°		 ← 525.63 m →
276 314 m²		 S 30.619005°
W 10.349121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471244812011719 y=0.589408874511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471244812011719 × 216)
    floor (0.471244812011719 × 65536)
    floor (30883.5)     		tx = 30883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589408874511719 × 216)
    floor (0.589408874511719 × 65536)
    floor (38627.5)     		ty = 38627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30883 / 38627 ti = "16/30883/38627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30883/38627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30883 ÷ 216
    30883 ÷ 65536     		x = 0.471237182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38627 ÷ 216
    38627 ÷ 65536     		y = 0.589401245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471237182617188 × 2 - 1) × π
    -0.057525634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18072211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589401245117188 × 2 - 1) × π
    -0.178802490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.561724589747818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18072211} λ = -0.18072211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.561724589747818))-π/2
    2×atan(0.570224811513132)-π/2
    2×0.518238193917969-π/2
    1.03647638783594-1.57079632675     		φ = -0.53431994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18072211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.354614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53431994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.614277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30883 KachelY 38627 -0.18072211 -0.53431994 -10.354614 -30.614277
    Oben rechts KachelX + 1 30884 KachelY 38627 -0.18062624 -0.53431994 -10.349121 -30.614277
    Unten links KachelX 30883 KachelY + 1 38628 -0.18072211 -0.53440245 -10.354614 -30.619005
    Unten rechts KachelX + 1 30884 KachelY + 1 38628 -0.18062624 -0.53440245 -10.349121 -30.619005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53431994--0.53440245) × R
    8.25099999999246e-05 × 6371000     		dl = 525.67120999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53431994--0.53440245) × R
    8.25099999999246e-05 × 6371000     		dr = 525.67120999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18072211--0.18062624) × cos(-0.53431994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.860615152816104 × 6371000     		do = 525.653210016746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18072211--0.18062624) × cos(-0.53440245) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.8605731311834 × 6371000     		du = 525.627543717415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53431994)-sin(-0.53440245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860615152816104-0.8605731311834)×R²
    abs(-0.18062624--0.18072211)×4.2021632703837e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2021632703837e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2021632703837e-05×40589641000000     		ar = 276314.013089117m²