Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30883 / 38129
↖ ↑ ↗
← S 28.231810°
W 10.354614°		 ← 538.13 m → S 28.231810°
W 10.349121°		 →
↑
538.09 m
↓
↑
538.09 m
↓
S 28.236649°
W 10.354614°		 ← 538.10 m →
289 558 m²		 S 28.236649°
W 10.349121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471244812011719 y=0.581809997558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471244812011719 × 216)
    floor (0.471244812011719 × 65536)
    floor (30883.5)     		tx = 30883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581809997558594 × 216)
    floor (0.581809997558594 × 65536)
    floor (38129.5)     		ty = 38129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30883 / 38129 ti = "16/30883/38129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30883/38129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30883 ÷ 216
    30883 ÷ 65536     		x = 0.471237182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38129 ÷ 216
    38129 ÷ 65536     		y = 0.581802368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471237182617188 × 2 - 1) × π
    -0.057525634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18072211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581802368164062 × 2 - 1) × π
    -0.163604736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.513979437726242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18072211} λ = -0.18072211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.513979437726242))-π/2
    2×atan(0.598110692452115)-π/2
    2×0.539029145553611-π/2
    1.07805829110722-1.57079632675     		φ = -0.49273804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18072211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.354614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49273804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.231810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30883 KachelY 38129 -0.18072211 -0.49273804 -10.354614 -28.231810
    Oben rechts KachelX + 1 30884 KachelY 38129 -0.18062624 -0.49273804 -10.349121 -28.231810
    Unten links KachelX 30883 KachelY + 1 38130 -0.18072211 -0.49282250 -10.354614 -28.236649
    Unten rechts KachelX + 1 30884 KachelY + 1 38130 -0.18062624 -0.49282250 -10.349121 -28.236649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49273804--0.49282250) × R
    8.44600000000084e-05 × 6371000     		dl = 538.094660000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49273804--0.49282250) × R
    8.44600000000084e-05 × 6371000     		dr = 538.094660000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18072211--0.18062624) × cos(-0.49273804) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881040960351107 × 6371000     		do = 538.129043451499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18072211--0.18062624) × cos(-0.49282250) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881001004251681 × 6371000     		du = 538.104638754633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49273804)-sin(-0.49282250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881040960351107-0.881001004251681)×R²
    abs(-0.18062624--0.18072211)×3.9956099425309e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9956099425309e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9956099425309e-05×40589641000000     		ar = 289557.798825929m²