Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30882 / 20357
↖ ↑ ↗
← N 56.154729°
W 10.360108°		 ← 340.21 m → N 56.154729°
W 10.354614°		 →
↑
340.21 m
↓
↑
340.21 m
↓
N 56.151669°
W 10.360108°		 ← 340.24 m →
115 750 m²		 N 56.151669°
W 10.354614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471229553222656 y=0.310630798339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471229553222656 × 216)
    floor (0.471229553222656 × 65536)
    floor (30882.5)     		tx = 30882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310630798339844 × 216)
    floor (0.310630798339844 × 65536)
    floor (20357.5)     		ty = 20357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30882 / 20357 ti = "16/30882/20357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30882/20357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30882 ÷ 216
    30882 ÷ 65536     		x = 0.471221923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20357 ÷ 216
    20357 ÷ 65536     		y = 0.310623168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.05755615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18081799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310623168945312 × 2 - 1) × π
    0.378753662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18988972236903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18081799} λ = -0.18081799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18988972236903))-π/2
    2×atan(3.28671873584139)-π/2
    2×1.27544061817959-π/2
    2.55088123635918-1.57079632675     		φ = 0.98008491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18081799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.360108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98008491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.154729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30882 KachelY 20357 -0.18081799 0.98008491 -10.360108 56.154729
    Oben rechts KachelX + 1 30883 KachelY 20357 -0.18072211 0.98008491 -10.354614 56.154729
    Unten links KachelX 30882 KachelY + 1 20358 -0.18081799 0.98003151 -10.360108 56.151669
    Unten rechts KachelX + 1 30883 KachelY + 1 20358 -0.18072211 0.98003151 -10.354614 56.151669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98008491-0.98003151) × R
    5.33999999999812e-05 × 6371000     		dl = 340.21139999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98008491-0.98003151) × R
    5.33999999999812e-05 × 6371000     		dr = 340.21139999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18081799--0.18072211) × cos(0.98008491) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.556952027226589 × 6371000     		do = 340.214970120434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18081799--0.18072211) × cos(0.98003151) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.556996377517549 × 6371000     		du = 340.242061561306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98008491)-sin(0.98003151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556952027226589-0.556996377517549)×R²
    abs(-0.18072211--0.18081799)×4.43502909605042e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.43502909605042e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.43502909605042e-05×40589641000000     		ar = 115749.619721565m²