Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30881 / 20362
↖ ↑ ↗
← N 56.139429°
W 10.365601°		 ← 340.31 m → N 56.139429°
W 10.360108°		 →
↑
340.34 m
↓
↑
340.34 m
↓
N 56.136368°
W 10.365601°		 ← 340.34 m →
115 827 m²		 N 56.136368°
W 10.360108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471214294433594 y=0.310707092285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471214294433594 × 216)
    floor (0.471214294433594 × 65536)
    floor (30881.5)     		tx = 30881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310707092285156 × 216)
    floor (0.310707092285156 × 65536)
    floor (20362.5)     		ty = 20362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30881 / 20362 ti = "16/30881/20362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30881/20362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30881 ÷ 216
    30881 ÷ 65536     		x = 0.471206665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20362 ÷ 216
    20362 ÷ 65536     		y = 0.310699462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471206665039062 × 2 - 1) × π
    -0.057586669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18091386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310699462890625 × 2 - 1) × π
    0.37860107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18941035337283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18091386} λ = -0.18091386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18941035337283))-π/2
    2×atan(3.28514356235503)-π/2
    2×1.27530709883622-π/2
    2.55061419767245-1.57079632675     		φ = 0.97981787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18091386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.365601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97981787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.139429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30881 KachelY 20362 -0.18091386 0.97981787 -10.365601 56.139429
    Oben rechts KachelX + 1 30882 KachelY 20362 -0.18081799 0.97981787 -10.360108 56.139429
    Unten links KachelX 30881 KachelY + 1 20363 -0.18091386 0.97976445 -10.365601 56.136368
    Unten rechts KachelX + 1 30882 KachelY + 1 20363 -0.18081799 0.97976445 -10.360108 56.136368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97981787-0.97976445) × R
    5.34199999999707e-05 × 6371000     		dl = 340.338819999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97981787-0.97976445) × R
    5.34199999999707e-05 × 6371000     		dr = 340.338819999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18091386--0.18081799) × cos(0.97981787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.557173796012878 × 6371000     		do = 340.314940369133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18091386--0.18081799) × cos(0.97976445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.557218154967163 × 6371000     		du = 340.342034275901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97981787)-sin(0.97976445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557173796012878-0.557218154967163)×R²
    abs(-0.18081799--0.18091386)×4.43589542857836e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43589542857836e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43589542857836e-05×40589641000000     		ar = 115826.995814935m²