Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30880 / 38113
↖ ↑ ↗
← S 28.154347°
W 10.371094°		 ← 538.52 m → S 28.154347°
W 10.365601°		 →
↑
538.48 m
↓
↑
538.48 m
↓
S 28.159189°
W 10.371094°		 ← 538.49 m →
289 974 m²		 S 28.159189°
W 10.365601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471199035644531 y=0.581565856933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471199035644531 × 216)
    floor (0.471199035644531 × 65536)
    floor (30880.5)     		tx = 30880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581565856933594 × 216)
    floor (0.581565856933594 × 65536)
    floor (38113.5)     		ty = 38113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30880 / 38113 ti = "16/30880/38113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30880/38113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30880 ÷ 216
    30880 ÷ 65536     		x = 0.47119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38113 ÷ 216
    38113 ÷ 65536     		y = 0.581558227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47119140625 × 2 - 1) × π
    -0.0576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18100973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581558227539062 × 2 - 1) × π
    -0.163116455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.5124454569384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18100973} λ = -0.18100973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.5124454569384))-π/2
    2×atan(0.599028886829557)-π/2
    2×0.53970514053548-π/2
    1.07941028107096-1.57079632675     		φ = -0.49138605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18100973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49138605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.154347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30880 KachelY 38113 -0.18100973 -0.49138605 -10.371094 -28.154347
    Oben rechts KachelX + 1 30881 KachelY 38113 -0.18091386 -0.49138605 -10.365601 -28.154347
    Unten links KachelX 30880 KachelY + 1 38114 -0.18100973 -0.49147057 -10.371094 -28.159189
    Unten rechts KachelX + 1 30881 KachelY + 1 38114 -0.18091386 -0.49147057 -10.365601 -28.159189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49138605--0.49147057) × R
    8.45199999999768e-05 × 6371000     		dl = 538.476919999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49138605--0.49147057) × R
    8.45199999999768e-05 × 6371000     		dr = 538.476919999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18100973--0.18091386) × cos(-0.49138605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881679700266728 × 6371000     		do = 538.519177980171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18100973--0.18091386) × cos(-0.49147057) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.881639816491387 × 6371000     		du = 538.494817457972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49138605)-sin(-0.49147057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881679700266728-0.881639816491387)×R²
    abs(-0.18091386--0.18100973)×3.98837753402548e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98837753402548e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98837753402548e-05×40589641000000     		ar = 289973.589702737m²