Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30880 / 34719
↖ ↑ ↗
← N 64.283952°
W 95.185547°		 ← 132.50 m → N 64.283952°
W 95.182801°		 →
↑
132.52 m
↓
↑
132.52 m
↓
N 64.282760°
W 95.185547°		 ← 132.51 m →
17 559 m²		 N 64.282760°
W 95.182801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.235599517822266 y=0.264888763427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.235599517822266 × 217)
    floor (0.235599517822266 × 131072)
    floor (30880.5)     		tx = 30880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264888763427734 × 217)
    floor (0.264888763427734 × 131072)
    floor (34719.5)     		ty = 34719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30880 / 34719 ti = "17/30880/34719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30880/34719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30880 ÷ 217
    30880 ÷ 131072     		x = 0.235595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34719 ÷ 217
    34719 ÷ 131072     		y = 0.264884948730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.235595703125 × 2 - 1) × π
    -0.52880859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.66130119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264884948730469 × 2 - 1) × π
    0.470230102539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.47727143559127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66130119} λ = -1.66130119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47727143559127))-π/2
    2×atan(4.38097558370145)-π/2
    2×1.34638146681568-π/2
    2.69276293363135-1.57079632675     		φ = 1.12196661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66130119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.185547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12196661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.283952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30880 KachelY 34719 -1.66130119 1.12196661 -95.185547 64.283952
    Oben rechts KachelX + 1 30881 KachelY 34719 -1.66125326 1.12196661 -95.182801 64.283952
    Unten links KachelX 30880 KachelY + 1 34720 -1.66130119 1.12194581 -95.185547 64.282760
    Unten rechts KachelX + 1 30881 KachelY + 1 34720 -1.66125326 1.12194581 -95.182801 64.282760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12196661-1.12194581) × R
    2.0800000000154e-05 × 6371000     		dl = 132.516800000981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12196661-1.12194581) × R
    2.0800000000154e-05 × 6371000     		dr = 132.516800000981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66130119--1.66125326) × cos(1.12196661) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.43391145837453 × 6371000     		do = 132.500083769588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66130119--1.66125326) × cos(1.12194581) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.433930198155449 × 6371000     		du = 132.505806187131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12196661)-sin(1.12194581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43391145837453-0.433930198155449)×R²
    abs(-1.66125326--1.66130119)×1.87397809195966e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.87397809195966e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.87397809195966e-05×40589641000000     		ar = 17558.8662599567m²