Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3088 / 3248
↖ ↑ ↗
← S 71.965388°
E 91.406250°		 ← 3 025.63 m → S 71.965388°
E 91.494141°		 →
↑
3 023.42 m
↓
↑
3 023.42 m
↓
S 71.992578°
E 91.406250°		 ← 3 021.22 m →
9 141 099 m²		 S 71.992578°
E 91.494141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7540283203125 y=0.7930908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7540283203125 × 212)
    floor (0.7540283203125 × 4096)
    floor (3088.5)     		tx = 3088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7930908203125 × 212)
    floor (0.7930908203125 × 4096)
    floor (3248.5)     		ty = 3248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3088 / 3248 ti = "12/3088/3248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3088/3248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3088 ÷ 212
    3088 ÷ 4096     		x = 0.75390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3248 ÷ 212
    3248 ÷ 4096     		y = 0.79296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75390625 × 2 - 1) × π
    0.5078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.59534002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79296875 × 2 - 1) × π
    -0.5859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.84077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.59534002} λ = 1.59534002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84077694541016))-π/2
    2×atan(0.158694081558849)-π/2
    2×0.157381681993559-π/2
    0.314763363987118-1.57079632675     		φ = -1.25603296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.59534002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25603296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.965388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3088 KachelY 3248 1.59534002 -1.25603296 91.406250 -71.965388
    Oben rechts KachelX + 1 3089 KachelY 3248 1.59687400 -1.25603296 91.494141 -71.965388
    Unten links KachelX 3088 KachelY + 1 3249 1.59534002 -1.25650752 91.406250 -71.992578
    Unten rechts KachelX + 1 3089 KachelY + 1 3249 1.59687400 -1.25650752 91.494141 -71.992578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25603296--1.25650752) × R
    0.000474560000000013 × 6371000     		dl = 3023.42176000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25603296--1.25650752) × R
    0.000474560000000013 × 6371000     		dr = 3023.42176000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.59534002-1.59687400) × cos(-1.25603296) × R
    0.00153397999999982 × 0.30959147256103 × 6371000     		do = 3025.63330662104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.59534002-1.59687400) × cos(-1.25650752) × R
    0.00153397999999982 × 0.309140193008558 × 6371000     		du = 3021.2229576109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25603296)-sin(-1.25650752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30959147256103-0.309140193008558)×R²
    abs(1.59687400-1.59534002)×0.000451279552472816×R²
    0.00153397999999982×0.000451279552472816×6371000²
    0.00153397999999982×0.000451279552472816×40589641000000     		ar = 9141098.57598785m²