Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30876 / 38084
↖ ↑ ↗
← S 28.013801°
W 10.393067°		 ← 539.28 m → S 28.013801°
W 10.387573°		 →
↑
539.24 m
↓
↑
539.24 m
↓
S 28.018651°
W 10.393067°		 ← 539.26 m →
290 796 m²		 S 28.018651°
W 10.387573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471138000488281 y=0.581123352050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471138000488281 × 216)
    floor (0.471138000488281 × 65536)
    floor (30876.5)     		tx = 30876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581123352050781 × 216)
    floor (0.581123352050781 × 65536)
    floor (38084.5)     		ty = 38084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30876 / 38084 ti = "16/30876/38084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30876/38084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30876 ÷ 216
    30876 ÷ 65536     		x = 0.47113037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38084 ÷ 216
    38084 ÷ 65536     		y = 0.58111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47113037109375 × 2 - 1) × π
    -0.0577392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18139323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58111572265625 × 2 - 1) × π
    -0.1622314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.509665116760437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18139323} λ = -0.18139323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509665116760437))-π/2
    2×atan(0.600696708392625)-π/2
    2×0.540931628395097-π/2
    1.08186325679019-1.57079632675     		φ = -0.48893307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18139323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.393067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48893307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.013801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30876 KachelY 38084 -0.18139323 -0.48893307 -10.393067 -28.013801
    Oben rechts KachelX + 1 30877 KachelY 38084 -0.18129735 -0.48893307 -10.387573 -28.013801
    Unten links KachelX 30876 KachelY + 1 38085 -0.18139323 -0.48901771 -10.393067 -28.018651
    Unten rechts KachelX + 1 30877 KachelY + 1 38085 -0.18129735 -0.48901771 -10.387573 -28.018651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48893307--0.48901771) × R
    8.46399999999692e-05 × 6371000     		dl = 539.241439999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48893307--0.48901771) × R
    8.46399999999692e-05 × 6371000     		dr = 539.241439999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18139323--0.18129735) × cos(-0.48893307) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.882834481196543 × 6371000     		do = 539.280749433899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18139323--0.18129735) × cos(-0.48901771) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.88279472396082 × 6371000     		du = 539.256463667617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48893307)-sin(-0.48901771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882834481196543-0.88279472396082)×R²
    abs(-0.18129735--0.18139323)×3.97572357230258e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.97572357230258e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.97572357230258e-05×40589641000000     		ar = 290795.980116766m²