Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30876 / 17163
↖ ↑ ↗
← N 64.748361°
W 10.393067°		 ← 260.59 m → N 64.748361°
W 10.387573°		 →
↑
260.57 m
↓
↑
260.57 m
↓
N 64.746017°
W 10.393067°		 ← 260.61 m →
67 905 m²		 N 64.746017°
W 10.387573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471138000488281 y=0.261894226074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471138000488281 × 216)
    floor (0.471138000488281 × 65536)
    floor (30876.5)     		tx = 30876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261894226074219 × 216)
    floor (0.261894226074219 × 65536)
    floor (17163.5)     		ty = 17163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30876 / 17163 ti = "16/30876/17163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30876/17163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30876 ÷ 216
    30876 ÷ 65536     		x = 0.47113037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17163 ÷ 216
    17163 ÷ 65536     		y = 0.261886596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47113037109375 × 2 - 1) × π
    -0.0577392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18139323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261886596679688 × 2 - 1) × π
    0.476226806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49611063714195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18139323} λ = -0.18139323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49611063714195))-π/2
    2×atan(4.46429200899933)-π/2
    2×1.3504342031908-π/2
    2.70086840638161-1.57079632675     		φ = 1.13007208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18139323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.393067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13007208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.748361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30876 KachelY 17163 -0.18139323 1.13007208 -10.393067 64.748361
    Oben rechts KachelX + 1 30877 KachelY 17163 -0.18129735 1.13007208 -10.387573 64.748361
    Unten links KachelX 30876 KachelY + 1 17164 -0.18139323 1.13003118 -10.393067 64.746017
    Unten rechts KachelX + 1 30877 KachelY + 1 17164 -0.18129735 1.13003118 -10.387573 64.746017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13007208-1.13003118) × R
    4.08999999998994e-05 × 6371000     		dl = 260.573899999359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13007208-1.13003118) × R
    4.08999999998994e-05 × 6371000     		dr = 260.573899999359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18139323--0.18129735) × cos(1.13007208) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.426594616791242 × 6371000     		do = 260.585953026943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18139323--0.18129735) × cos(1.13003118) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.426631608150699 × 6371000     		du = 260.608549253615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13007208)-sin(1.13003118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426594616791242-0.426631608150699)×R²
    abs(-0.18129735--0.18139323)×3.69913594570614e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.69913594570614e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.69913594570614e-05×40589641000000     		ar = 67904.8420678498m²