Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30870 / 38363
↖ ↑ ↗
← S 29.358239°
W 10.426025°		 ← 532.35 m → S 29.358239°
W 10.420532°		 →
↑
532.36 m
↓
↑
532.36 m
↓
S 29.363027°
W 10.426025°		 ← 532.32 m →
283 393 m²		 S 29.363027°
W 10.420532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471046447753906 y=0.585380554199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471046447753906 × 216)
    floor (0.471046447753906 × 65536)
    floor (30870.5)     		tx = 30870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585380554199219 × 216)
    floor (0.585380554199219 × 65536)
    floor (38363.5)     		ty = 38363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30870 / 38363 ti = "16/30870/38363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30870/38363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30870 ÷ 216
    30870 ÷ 65536     		x = 0.471038818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38363 ÷ 216
    38363 ÷ 65536     		y = 0.585372924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.05792236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18196847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585372924804688 × 2 - 1) × π
    -0.170745849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.536413906748428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18196847} λ = -0.18196847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.536413906748428))-π/2
    2×atan(0.584841793522496)-π/2
    2×0.529199192771171-π/2
    1.05839838554234-1.57079632675     		φ = -0.51239794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18196847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.426025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51239794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.358239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30870 KachelY 38363 -0.18196847 -0.51239794 -10.426025 -29.358239
    Oben rechts KachelX + 1 30871 KachelY 38363 -0.18187260 -0.51239794 -10.420532 -29.358239
    Unten links KachelX 30870 KachelY + 1 38364 -0.18196847 -0.51248150 -10.426025 -29.363027
    Unten rechts KachelX + 1 30871 KachelY + 1 38364 -0.18187260 -0.51248150 -10.420532 -29.363027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51239794--0.51248150) × R
    8.35599999999825e-05 × 6371000     		dl = 532.360759999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51239794--0.51248150) × R
    8.35599999999825e-05 × 6371000     		dr = 532.360759999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18196847--0.18187260) × cos(-0.51239794) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871571379830244 × 6371000     		do = 532.345139482326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18196847--0.18187260) × cos(-0.51248150) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871530409940769 × 6371000     		du = 532.320115574896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51239794)-sin(-0.51248150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871571379830244-0.871530409940769)×R²
    abs(-0.18187260--0.18196847)×4.09698894754396e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.09698894754396e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.09698894754396e-05×40589641000000     		ar = 283393.002328804m²