Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30870 / 17230
↖ ↑ ↗
← N 64.590899°
W 10.426025°		 ← 262.08 m → N 64.590899°
W 10.420532°		 →
↑
262.10 m
↓
↑
262.10 m
↓
N 64.588542°
W 10.426025°		 ← 262.10 m →
68 694 m²		 N 64.588542°
W 10.420532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471046447753906 y=0.262916564941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471046447753906 × 216)
    floor (0.471046447753906 × 65536)
    floor (30870.5)     		tx = 30870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262916564941406 × 216)
    floor (0.262916564941406 × 65536)
    floor (17230.5)     		ty = 17230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30870 / 17230 ti = "16/30870/17230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30870/17230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30870 ÷ 216
    30870 ÷ 65536     		x = 0.471038818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17230 ÷ 216
    17230 ÷ 65536     		y = 0.262908935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.05792236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18196847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262908935546875 × 2 - 1) × π
    0.47418212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48968709259286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18196847} λ = -0.18196847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48968709259286))-π/2
    2×atan(4.43570733614728)-π/2
    2×1.34906009240815-π/2
    2.6981201848163-1.57079632675     		φ = 1.12732386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18196847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.426025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12732386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.590899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30870 KachelY 17230 -0.18196847 1.12732386 -10.426025 64.590899
    Oben rechts KachelX + 1 30871 KachelY 17230 -0.18187260 1.12732386 -10.420532 64.590899
    Unten links KachelX 30870 KachelY + 1 17231 -0.18196847 1.12728272 -10.426025 64.588542
    Unten rechts KachelX + 1 30871 KachelY + 1 17231 -0.18187260 1.12728272 -10.420532 64.588542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12732386-1.12728272) × R
    4.11399999999951e-05 × 6371000     		dl = 262.102939999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12732386-1.12728272) × R
    4.11399999999951e-05 × 6371000     		dr = 262.102939999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18196847--0.18187260) × cos(1.12732386) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.429078610868423 × 6371000     		do = 262.075967887016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18196847--0.18187260) × cos(1.12728272) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.429115770915889 × 6371000     		du = 262.098664789541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12732386)-sin(1.12728272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429078610868423-0.429115770915889)×R²
    abs(-0.18187260--0.18196847)×3.716004746529e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.716004746529e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.716004746529e-05×40589641000000     		ar = 68693.8561587588m²