Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30869 / 38133
↖ ↑ ↗
← S 28.251167°
W 10.431518°		 ← 538.03 m → S 28.251167°
W 10.426025°		 →
↑
538.03 m
↓
↑
538.03 m
↓
S 28.256006°
W 10.431518°		 ← 538.01 m →
289 471 m²		 S 28.256006°
W 10.426025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471031188964844 y=0.581871032714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471031188964844 × 216)
    floor (0.471031188964844 × 65536)
    floor (30869.5)     		tx = 30869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581871032714844 × 216)
    floor (0.581871032714844 × 65536)
    floor (38133.5)     		ty = 38133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30869 / 38133 ti = "16/30869/38133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30869/38133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30869 ÷ 216
    30869 ÷ 65536     		x = 0.471023559570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38133 ÷ 216
    38133 ÷ 65536     		y = 0.581863403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471023559570312 × 2 - 1) × π
    -0.057952880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18206434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581863403320312 × 2 - 1) × π
    -0.163726806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.514362932923203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18206434} λ = -0.18206434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.514362932923203))-π/2
    2×atan(0.597881363850328)-π/2
    2×0.538860223390551-π/2
    1.0777204467811-1.57079632675     		φ = -0.49307588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18206434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.431518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49307588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.251167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30869 KachelY 38133 -0.18206434 -0.49307588 -10.431518 -28.251167
    Oben rechts KachelX + 1 30870 KachelY 38133 -0.18196847 -0.49307588 -10.426025 -28.251167
    Unten links KachelX 30869 KachelY + 1 38134 -0.18206434 -0.49316033 -10.431518 -28.256006
    Unten rechts KachelX + 1 30870 KachelY + 1 38134 -0.18196847 -0.49316033 -10.426025 -28.256006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49307588--0.49316033) × R
    8.44499999999582e-05 × 6371000     		dl = 538.030949999733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49307588--0.49316033) × R
    8.44499999999582e-05 × 6371000     		dr = 538.030949999733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18206434--0.18196847) × cos(-0.49307588) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880881098246866 × 6371000     		do = 538.031401633343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18206434--0.18196847) × cos(-0.49316033) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880841121744818 × 6371000     		du = 538.006984474804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49307588)-sin(-0.49316033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880881098246866-0.880841121744818)×R²
    abs(-0.18196847--0.18206434)×3.99765020476783e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.99765020476783e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.99765020476783e-05×40589641000000     		ar = 289470.97772915m²