Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30864 / 38708
↖ ↑ ↗
← S 30.996446°
W 10.458984°		 ← 523.57 m → S 30.996446°
W 10.453491°		 →
↑
523.57 m
↓
↑
523.57 m
↓
S 31.001155°
W 10.458984°		 ← 523.54 m →
274 116 m²		 S 31.001155°
W 10.453491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470954895019531 y=0.590644836425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470954895019531 × 216)
    floor (0.470954895019531 × 65536)
    floor (30864.5)     		tx = 30864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590644836425781 × 216)
    floor (0.590644836425781 × 65536)
    floor (38708.5)     		ty = 38708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30864 / 38708 ti = "16/30864/38708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30864/38708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30864 ÷ 216
    30864 ÷ 65536     		x = 0.470947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38708 ÷ 216
    38708 ÷ 65536     		y = 0.59063720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470947265625 × 2 - 1) × π
    -0.05810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18254371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59063720703125 × 2 - 1) × π
    -0.1812744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.569490367486267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18254371} λ = -0.18254371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.569490367486267))-π/2
    2×atan(0.565813722303551)-π/2
    2×0.514903144741235-π/2
    1.02980628948247-1.57079632675     		φ = -0.54099004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18254371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54099004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.996446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30864 KachelY 38708 -0.18254371 -0.54099004 -10.458984 -30.996446
    Oben rechts KachelX + 1 30865 KachelY 38708 -0.18244784 -0.54099004 -10.453491 -30.996446
    Unten links KachelX 30864 KachelY + 1 38709 -0.18254371 -0.54107222 -10.458984 -31.001155
    Unten rechts KachelX + 1 30865 KachelY + 1 38709 -0.18244784 -0.54107222 -10.453491 -31.001155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54099004--0.54107222) × R
    8.21800000000428e-05 × 6371000     		dl = 523.568780000273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54099004--0.54107222) × R
    8.21800000000428e-05 × 6371000     		dr = 523.568780000273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18254371--0.18244784) × cos(-0.54099004) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.857199245895731 × 6371000     		do = 523.566815846324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18254371--0.18244784) × cos(-0.54107222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.85715692154168 × 6371000     		du = 523.540964648496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54099004)-sin(-0.54107222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857199245895731-0.85715692154168)×R²
    abs(-0.18244784--0.18254371)×4.23243540518259e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.23243540518259e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.23243540518259e-05×40589641000000     		ar = 274116.471735647m²