Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30864 / 17168
↖ ↑ ↗
← N 64.736641°
W 10.458984°		 ← 260.67 m → N 64.736641°
W 10.453491°		 →
↑
260.70 m
↓
↑
260.70 m
↓
N 64.734297°
W 10.458984°		 ← 260.69 m →
67 960 m²		 N 64.734297°
W 10.453491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470954895019531 y=0.261970520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470954895019531 × 216)
    floor (0.470954895019531 × 65536)
    floor (30864.5)     		tx = 30864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261970520019531 × 216)
    floor (0.261970520019531 × 65536)
    floor (17168.5)     		ty = 17168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30864 / 17168 ti = "16/30864/17168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30864/17168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30864 ÷ 216
    30864 ÷ 65536     		x = 0.470947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17168 ÷ 216
    17168 ÷ 65536     		y = 0.261962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470947265625 × 2 - 1) × π
    -0.05810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18254371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261962890625 × 2 - 1) × π
    0.47607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49563126814575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18254371} λ = -0.18254371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49563126814575))-π/2
    2×atan(4.46215247867345)-π/2
    2×1.35033193290616-π/2
    2.70066386581233-1.57079632675     		φ = 1.12986754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18254371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12986754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.736641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30864 KachelY 17168 -0.18254371 1.12986754 -10.458984 64.736641
    Oben rechts KachelX + 1 30865 KachelY 17168 -0.18244784 1.12986754 -10.453491 64.736641
    Unten links KachelX 30864 KachelY + 1 17169 -0.18254371 1.12982662 -10.458984 64.734297
    Unten rechts KachelX + 1 30865 KachelY + 1 17169 -0.18244784 1.12982662 -10.453491 64.734297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12986754-1.12982662) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dl = 260.701319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12986754-1.12982662) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dr = 260.701319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18254371--0.18244784) × cos(1.12986754) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.4267796026254 × 6371000     		do = 260.671761769048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18254371--0.18244784) × cos(1.12982662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426816608501936 × 6371000     		du = 260.694364505855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12986754)-sin(1.12982662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4267796026254-0.426816608501936)×R²
    abs(-0.18244784--0.18254371)×3.70058765361558e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.70058765361558e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.70058765361558e-05×40589641000000     		ar = 67960.4186709058m²