Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30864 / 16882
↖ ↑ ↗
← N 65.398872°
W 10.458984°		 ← 254.27 m → N 65.398872°
W 10.453491°		 →
↑
254.33 m
↓
↑
254.33 m
↓
N 65.396585°
W 10.458984°		 ← 254.29 m →
64 671 m²		 N 65.396585°
W 10.453491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470954895019531 y=0.257606506347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470954895019531 × 216)
    floor (0.470954895019531 × 65536)
    floor (30864.5)     		tx = 30864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257606506347656 × 216)
    floor (0.257606506347656 × 65536)
    floor (16882.5)     		ty = 16882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30864 / 16882 ti = "16/30864/16882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30864/16882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30864 ÷ 216
    30864 ÷ 65536     		x = 0.470947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16882 ÷ 216
    16882 ÷ 65536     		y = 0.257598876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470947265625 × 2 - 1) × π
    -0.05810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18254371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257598876953125 × 2 - 1) × π
    0.48480224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.52305117472842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18254371} λ = -0.18254371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52305117472842))-π/2
    2×atan(4.58619715772028)-π/2
    2×1.35611098158066-π/2
    2.71222196316133-1.57079632675     		φ = 1.14142564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18254371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14142564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.398872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30864 KachelY 16882 -0.18254371 1.14142564 -10.458984 65.398872
    Oben rechts KachelX + 1 30865 KachelY 16882 -0.18244784 1.14142564 -10.453491 65.398872
    Unten links KachelX 30864 KachelY + 1 16883 -0.18254371 1.14138572 -10.458984 65.396585
    Unten rechts KachelX + 1 30865 KachelY + 1 16883 -0.18244784 1.14138572 -10.453491 65.396585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14142564-1.14138572) × R
    3.99200000000821e-05 × 6371000     		dl = 254.330320000523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14142564-1.14138572) × R
    3.99200000000821e-05 × 6371000     		dr = 254.330320000523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18254371--0.18244784) × cos(1.14142564) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416298695769976 × 6371000     		do = 254.270152043247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18254371--0.18244784) × cos(1.14138572) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416334991816504 × 6371000     		du = 254.292321224565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14142564)-sin(1.14138572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416298695769976-0.416334991816504)×R²
    abs(-0.18244784--0.18254371)×3.62960465280504e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62960465280504e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62960465280504e-05×40589641000000     		ar = 64671.4282918188m²