Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30864 / 16878
↖ ↑ ↗
← N 65.408017°
W 10.458984°		 ← 254.18 m → N 65.408017°
W 10.453491°		 →
↑
254.20 m
↓
↑
254.20 m
↓
N 65.405731°
W 10.458984°		 ← 254.20 m →
64 616 m²		 N 65.405731°
W 10.453491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470954895019531 y=0.257545471191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470954895019531 × 216)
    floor (0.470954895019531 × 65536)
    floor (30864.5)     		tx = 30864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257545471191406 × 216)
    floor (0.257545471191406 × 65536)
    floor (16878.5)     		ty = 16878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30864 / 16878 ti = "16/30864/16878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30864/16878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30864 ÷ 216
    30864 ÷ 65536     		x = 0.470947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16878 ÷ 216
    16878 ÷ 65536     		y = 0.257537841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470947265625 × 2 - 1) × π
    -0.05810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18254371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257537841796875 × 2 - 1) × π
    0.48492431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.52343466992538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18254371} λ = -0.18254371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52343466992538))-π/2
    2×atan(4.58795627958841)-π/2
    2×1.35619079194099-π/2
    2.71238158388199-1.57079632675     		φ = 1.14158526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18254371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14158526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.408017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30864 KachelY 16878 -0.18254371 1.14158526 -10.458984 65.408017
    Oben rechts KachelX + 1 30865 KachelY 16878 -0.18244784 1.14158526 -10.453491 65.408017
    Unten links KachelX 30864 KachelY + 1 16879 -0.18254371 1.14154536 -10.458984 65.405731
    Unten rechts KachelX + 1 30865 KachelY + 1 16879 -0.18244784 1.14154536 -10.453491 65.405731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14158526-1.14154536) × R
    3.98999999999816e-05 × 6371000     		dl = 254.202899999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14158526-1.14154536) × R
    3.98999999999816e-05 × 6371000     		dr = 254.202899999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18254371--0.18244784) × cos(1.14158526) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416153559507942 × 6371000     		do = 254.181504589413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18254371--0.18244784) × cos(1.14154536) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416189840021236 × 6371000     		du = 254.203664283222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14158526)-sin(1.14154536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416153559507942-0.416189840021236)×R²
    abs(-0.18244784--0.18254371)×3.62805132942956e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62805132942956e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62805132942956e-05×40589641000000     		ar = 64616.4921307783m²