Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30863 / 16879
↖ ↑ ↗
← N 65.405731°
W 10.464478°		 ← 254.23 m → N 65.405731°
W 10.458984°		 →
↑
254.27 m
↓
↑
254.27 m
↓
N 65.403445°
W 10.464478°		 ← 254.25 m →
64 645 m²		 N 65.403445°
W 10.458984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470939636230469 y=0.257560729980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470939636230469 × 216)
    floor (0.470939636230469 × 65536)
    floor (30863.5)     		tx = 30863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257560729980469 × 216)
    floor (0.257560729980469 × 65536)
    floor (16879.5)     		ty = 16879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30863 / 16879 ti = "16/30863/16879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30863/16879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30863 ÷ 216
    30863 ÷ 65536     		x = 0.470932006835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16879 ÷ 216
    16879 ÷ 65536     		y = 0.257553100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470932006835938 × 2 - 1) × π
    -0.058135986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18263959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257553100585938 × 2 - 1) × π
    0.484893798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.52333879612614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18263959} λ = -0.18263959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52333879612614))-π/2
    2×atan(4.58751643587422)-π/2
    2×1.35617084195988-π/2
    2.71234168391976-1.57079632675     		φ = 1.14154536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18263959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.464478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14154536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.405731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30863 KachelY 16879 -0.18263959 1.14154536 -10.464478 65.405731
    Oben rechts KachelX + 1 30864 KachelY 16879 -0.18254371 1.14154536 -10.458984 65.405731
    Unten links KachelX 30863 KachelY + 1 16880 -0.18263959 1.14150545 -10.464478 65.403445
    Unten rechts KachelX + 1 30864 KachelY + 1 16880 -0.18254371 1.14150545 -10.458984 65.403445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14154536-1.14150545) × R
    3.99100000001429e-05 × 6371000     		dl = 254.26661000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14154536-1.14150545) × R
    3.99100000001429e-05 × 6371000     		dr = 254.26661000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18263959--0.18254371) × cos(1.14154536) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.416189840021236 × 6371000     		do = 254.230179737916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18263959--0.18254371) × cos(1.14150545) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.416226128964564 × 6371000     		du = 254.252346892655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14154536)-sin(1.14150545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416189840021236-0.416226128964564)×R²
    abs(-0.18254371--0.18263959)×3.62889433274671e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.62889433274671e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.62889433274671e-05×40589641000000     		ar = 64645.0641542081m²