Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 30861 / 14509
↖ ↑ ↗
← N 80.097331°
W 95.237732°		 ← 52.51 m → N 80.097331°
W 95.234985°		 →
↑
52.56 m
↓
↑
52.56 m
↓
N 80.096858°
W 95.237732°		 ← 52.52 m →
2 760 m²		 N 80.096858°
W 95.234985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.235454559326172 y=0.110698699951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.235454559326172 × 217)
    floor (0.235454559326172 × 131072)
    floor (30861.5)     		tx = 30861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110698699951172 × 217)
    floor (0.110698699951172 × 131072)
    floor (14509.5)     		ty = 14509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30861 / 14509 ti = "17/30861/14509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30861/14509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30861 ÷ 217
    30861 ÷ 131072     		x = 0.235450744628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14509 ÷ 217
    14509 ÷ 131072     		y = 0.110694885253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.235450744628906 × 2 - 1) × π
    -0.529098510742188 × 3.1415926535     		Λ = -1.66221199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110694885253906 × 2 - 1) × π
    0.778610229492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.44607617691261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66221199} λ = -1.66221199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44607617691261))-π/2
    2×atan(11.5429651895946)-π/2
    2×1.48437923734201-π/2
    2.96875847468402-1.57079632675     		φ = 1.39796215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66221199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.237732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39796215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.097331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30861 KachelY 14509 -1.66221199 1.39796215 -95.237732 80.097331
    Oben rechts KachelX + 1 30862 KachelY 14509 -1.66216406 1.39796215 -95.234985 80.097331
    Unten links KachelX 30861 KachelY + 1 14510 -1.66221199 1.39795390 -95.237732 80.096858
    Unten rechts KachelX + 1 30862 KachelY + 1 14510 -1.66216406 1.39795390 -95.234985 80.096858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39796215-1.39795390) × R
    8.2499999998209e-06 × 6371000     		dl = 52.560749998859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39796215-1.39795390) × R
    8.2499999998209e-06 × 6371000     		dr = 52.560749998859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66221199--1.66216406) × cos(1.39796215) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17197498732012 × 6371000     		do = 52.5146312373283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66221199--1.66216406) × cos(1.39795390) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.171983114400129 × 6371000     		du = 52.5171129389776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39796215)-sin(1.39795390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17197498732012-0.171983114400129)×R²
    abs(-1.66216406--1.66221199)×8.12708000819118e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.12708000819118e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.12708000819118e-06×40589641000000     		ar = 2760.2736239456m²